Klasa 4 · Prostopadłościan i sześcian

Ściany, krawędzie i wierzchołki prostopadłościanu

Prostopadłościan to bryła w kształcie pudełka, np. cegły, kartonu po mleku albo pudełka po butach. Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe, np. kostka do gry.

Ściany to płaskie prostokąty, które ograniczają bryłę.
Krawędzie to odcinki, w których stykają się dwie ściany.
Wierzchołki to narożniki, w których schodzą się krawędzie.

Prostopadłościan i sześcian w liczbach

Każdy prostopadłościan, także sześcian, ma:

6 ścian,
12 krawędzi,
8 wierzchołków.

W prostopadłościanie o wymiarach $a$ , $b$ i $c$ każdy wymiar powtarza się na 4 krawędziach, więc suma długości wszystkich krawędzi to:

4 \cdot a + 4 \cdot b + 4 \cdot c

W sześcianie o krawędzi $a$ ta suma to $12 \cdot a$ .

Obróć prostopadłościan i policz jego ściany, krawędzie i wierzchołki. Przycisk „Siatka” pokazuje, jak wygląda po rozłożeniu.

Sprawdź samProstopadłościan: obróć i zmieniaj wymiary

a = 5 cmb = 3 cmc = 2 cm

ściany

krawędzie

wierzchołki

Objętość

a · b · c = 5 · 3 · 2

= 30 cm³

Pole powierzchni

2 · (5·3 + 5·2 + 3·2)

= 62 cm²

Suma krawędzi

4 · (5 + 3 + 2)

= 40 cm

Przeciągnij bryłę myszką albo palcem, żeby ją obrócić. Przerywane linie to krawędzie z tyłu.

Przykład 1

Prostopadłościan ma wymiary 5 cm, 3 cm i 2 cm. Suma długości jego krawędzi:

4 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 20 + 12 + 8 = 40 \text{ cm}

Przykład 2

Sześcian ma krawędź 3 cm. Suma długości jego krawędzi:

12 \cdot 3 = 36 \text{ cm}

Częsty błąd

Licząc krawędzie na rysunku, nie zapominaj o tych z tyłu. Na rysunku prostopadłościanu widać zwykle 9 krawędzi narysowanych linią ciągłą, a 3 są narysowane linią przerywaną. Razem jest ich zawsze 12.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Ile krawędzi ma prostopadłościan?

Pokaż całe rozwiązanie

Dolna ściana ma 4 krawędzie i górna ściana ma 4 krawędzie.
Do tego 4 krawędzie pionowe, które łączą dolną ścianę z górną.
$4 + 4 + 4 = 12$ krawędzi.

Zadanie 2

Łatwe

Ile wierzchołków ma sześcian?

Pokaż całe rozwiązanie

Dolna ściana ma 4 narożniki i górna ściana ma 4 narożniki.
Razem $4 + 4 = 8$ wierzchołków.
Liczba 6 to liczba ścian, a 12 to liczba krawędzi.

Zadanie 3

Łatwe

Czy to prawda, że każda ściana sześcianu jest kwadratem?

Pokaż całe rozwiązanie

Sześcian ma wszystkie krawędzie równe.
Każda ściana jest prostokątem o równych bokach, czyli kwadratem. Zdanie jest prawdziwe.

Średnie

Zadanie 4

Średnie

Sześcian ma krawędź długości 5 cm. Oblicz sumę długości wszystkich jego krawędzi.

Pokaż całe rozwiązanie

Sześcian ma 12 krawędzi, każda po 5 cm.
$12 \cdot 5 \text{ cm} = 60 \text{ cm}$

Zadanie 5

Średnie

Prostopadłościan ma wymiary 6 cm, 4 cm i 2 cm. Ile wynosi suma długości wszystkich jego krawędzi?

Pokaż całe rozwiązanie

Są 4 krawędzie po 6 cm, 4 krawędzie po 4 cm i 4 krawędzie po 2 cm.
$4 \cdot 6 + 4 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 24 + 16 + 8 = 48$ , czyli 48 cm.
Wynik 12 cm to suma trzech wymiarów, liczona tak, jakby każda krawędź była tylko raz. Wynik 72 cm wychodzi, gdy przyjmiesz, że wszystkie 12 krawędzi ma po 6 cm, jak w sześcianie.

Zadanie 6

Średnie

Czy to prawda, że każdy prostopadłościan ma wszystkie ściany jednakowe?

Pokaż całe rozwiązanie

Prostopadłościan ma 3 pary jednakowych ścian: każde dwie ściany leżące naprzeciw siebie są takie same.
Ściany z różnych par mogą być różne, np. w pudełku po butach dno jest większe niż ściana z przodu.
Wszystkie ściany są jednakowe tylko w sześcianie. Zdanie jest fałszywe.

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Tata robi szkielet akwarium w kształcie prostopadłościanu z metalowych listewek. Akwarium ma 60 cm długości, 30 cm szerokości i 40 cm wysokości. Listewka ma być na każdej krawędzi. Ile centymetrów listewek potrzebuje tata?

Pokaż całe rozwiązanie

4 krawędzie po 60 cm: $4 \cdot 60 = 240$ cm.
4 krawędzie po 30 cm: $4 \cdot 30 = 120$ cm. 4 krawędzie po 40 cm: $4 \cdot 40 = 160$ cm.
Razem: $240 + 120 + 160 = 520$ cm.

Zadanie 8

Trudne

Z kawałka drutu długości 96 cm zrobiono szkielet sześcianu. Zużyto cały drut. Jaką długość ma krawędź tego sześcianu?

Pokaż całe rozwiązanie

Sześcian ma 12 równych krawędzi.
$96 : 12 = 8$ , czyli krawędź ma 8 cm.
Sprawdzenie: $12 \cdot 8 = 96$ .

Najczęstsze pytania

Czy sześcian jest prostopadłościanem?

Tak. Sześcian to szczególny prostopadłościan, w którym wszystkie krawędzie są równe, a wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami.

Ile ścian prostopadłościanu widać naraz?

Patrząc na pudełko z jednego miejsca, zobaczysz najwyżej 3 ściany. Pozostałe 3 są z tyłu. Na rysunku krawędzie niewidoczne rysujemy linią przerywaną.

← Wszystko z działu „Prostopadłościan i sześcian” i lista na sprawdzian