Klasa 5 · Czworokąty

Kąty w równoległoboku i rombie

Q: Ile wynosi suma kątów w czworokącie?

W każdym czworokącie suma kątów wynosi $360^\circ$. Przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a każdy z nich ma $180^\circ$.

8 zadań do rozwiązania ↓

Suma kątów każdego czworokąta wynosi $360^\circ$ . W równoległoboku i rombie kąty mają jeszcze dodatkowe własności, dzięki którym wystarczy znać jeden kąt, żeby obliczyć wszystkie pozostałe.

Kąty w równoległoboku i rombie

kąty przeciwległe (naprzeciw siebie) są równe,
kąty sąsiednie (przy tym samym boku) dają razem $180^\circ$ ,
suma wszystkich kątów:

\alpha + \beta + \alpha + \beta = 360^\circ

Przechylaj równoległobok suwakiem s. Boki zostają równoległe, a gdy s = 0, powstaje prostokąt.

Sprawdź samRównoległobok: zmieniaj wymiary

a = 6 cmh = 3 cms = 2

Obwód

2 · 6 + 2 · 3,6

≈ 19,2 cm

Pole

a · h = 6 · 3

= 18 cm²

Przechylaj równoległobok suwakiem s. Pole się nie zmienia: to wciąż podstawa razy wysokość.

W trapezie kąty leżące przy tym samym ramieniu też dają razem $180^\circ$ , bo podstawy trapezu są równoległe.

Przykład 1

Kąt ostry równoległoboku ma $60^\circ$ . Kąt przeciwległy też ma $60^\circ$ . Kąty sąsiednie mają po

180^\circ - 60^\circ = 120^\circ

Wszystkie kąty: $60^\circ$ , $120^\circ$ , $60^\circ$ , $120^\circ$ . Razem $360^\circ$ .

Przykład 2: romb

Kąt rozwarty rombu ma $130^\circ$ . Kąt ostry to $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ , więc kąty rombu to $50^\circ$ , $130^\circ$ , $50^\circ$ i $130^\circ$ .

Częsty błąd

Nie myl kątów przeciwległych z sąsiednimi. Kąt naprzeciw kąta $70^\circ$ też ma $70^\circ$ , a kąt przy tym samym boku ma $110^\circ$ . Nie odejmuj też od $360^\circ$ , gdy szukasz kąta sąsiedniego: $360^\circ - 70^\circ = 290^\circ$ to suma trzech pozostałych kątów, a nie jeden kąt.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Kąt ostry równoległoboku ma $70^\circ$ . Ile stopni ma jego kąt rozwarty?

Pokaż całe rozwiązanie

Kąt ostry i kąt rozwarty leżą przy tym samym boku, więc są sąsiednie.
$180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

Zadanie 2

Łatwe

W równoległoboku $ABCD$ kąt przy wierzchołku $A$ ma $65^\circ$ . Ile stopni ma kąt przy wierzchołku $C$ (przeciwległym do $A$ )?

Pokaż całe rozwiązanie

Wierzchołki $A$ i $C$ leżą naprzeciw siebie, więc kąty przy nich są równe.
Kąt przy wierzchołku $C$ ma $65^\circ$ .
$115^\circ$ to kąt przy wierzchołku $B$ albo $D$ , czyli kąt sąsiedni.

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Czy to prawda, że równoległobok może mieć jeden kąt o mierze $75^\circ$ i drugi o mierze $115^\circ$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

Kąty przeciwległe są równe, a $75^\circ \neq 115^\circ$ .
Kąty sąsiednie dają razem $180^\circ$ , a $75^\circ + 115^\circ = 190^\circ$ .
Żaden przypadek nie pasuje, więc to nieprawda.

Zadanie 4

Średnie

Trzy kąty czworokąta mają miary $80^\circ$ , $95^\circ$ i $110^\circ$ . Oblicz miarę czwartego kąta.

Pokaż całe rozwiązanie

Suma znanych kątów: $80^\circ + 95^\circ + 110^\circ = 285^\circ$ .
Czwarty kąt: $360^\circ - 285^\circ = 75^\circ$ .

Zadanie 5

Średnie

Kąt ostry rombu ma $48^\circ$ . Oblicz sumę miar obu kątów rozwartych tego rombu.

Pokaż całe rozwiązanie

Kąt rozwarty: $180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$ .
Romb ma dwa równe kąty rozwarte: $132^\circ + 132^\circ = 264^\circ$ .
Sprawdzenie: $48^\circ + 48^\circ + 264^\circ = 360^\circ$ .

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Jeden kąt równoległoboku jest o $40^\circ$ większy od drugiego. Ile stopni ma większy z tych kątów?

Pokaż całe rozwiązanie

Kąty są różne, więc są sąsiednie: razem mają $180^\circ$ .
Gdyby odjąć nadwyżkę $40^\circ$ , zostałyby dwa równe kąty: $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ , czyli po $70^\circ$ .
Mniejszy kąt ma $70^\circ$ , a większy $70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$ .

Zadanie 7

Trudne

W trapezie równoramiennym kąt przy dłuższej podstawie ma $65^\circ$ . Ile stopni ma kąt przy krótszej podstawie?

Pokaż całe rozwiązanie

Podstawy trapezu są równoległe, więc kąty przy jednym ramieniu dają razem $180^\circ$ .
$180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$
$25^\circ$ to dopełnienie do $90^\circ$ , a $230^\circ$ to suma obu kątów przy krótszej podstawie.

Zadanie 8

Trudne

Płytka podłogowa ma kształt rombu. Jej kąt rozwarty jest 4 razy większy od kąta ostrego. Ile stopni ma kąt ostry płytki?

Pokaż całe rozwiązanie

Kąt ostry i rozwarty są sąsiednie, więc razem mają $180^\circ$ .
To $1 + 4 = 5$ równych części, więc jedna część to $180^\circ : 5 = 36^\circ$ .
Kąt ostry ma $36^\circ$ , a rozwarty $4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$ . Sprawdzenie: $36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$ .

Najczęstsze pytania

Ile wynosi suma kątów w czworokącie?

W każdym czworokącie suma kątów wynosi $360^\circ$ . Przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a każdy z nich ma $180^\circ$ .

Czym różni się romb od równoległoboku?

Romb to równoległobok, który ma wszystkie boki równe. Kąty w rombie mają takie same własności jak w każdym równoległoboku: przeciwległe są równe, a sąsiednie dają razem $180^\circ$ .

← Wszystko z działu „Czworokąty” i lista na sprawdzian