Klasa 5 · Graniastosłupy proste

Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian. Prostopadłościan ma 6 ścian i każda z nich jest prostokątem. Ściany łączą się w pary: przeciwległe ściany (np. górna i dolna) są jednakowe. Dlatego wystarczy obliczyć pola trzech różnych ścian i wynik podwoić.

Pole powierzchni prostopadłościanu

P = 2ab + 2ac + 2bc

$a$ , $b$ i $c$ to długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu. Dla sześcianu o krawędzi $a$ wzór ma postać $P = 6a^2$ .

Obróć prostopadłościan, zmieniaj wymiary i włącz siatkę. Pole powierzchni to suma pól wszystkich sześciu ścian.

Sprawdź samProstopadłościan: obróć i zmieniaj wymiary

a = 4 cmb = 3 cmc = 2 cm

ściany

krawędzie

wierzchołki

Objętość

a · b · c = 4 · 3 · 2

= 24 cm³

Pole powierzchni

2 · (4·3 + 4·2 + 3·2)

= 52 cm²

Suma krawędzi

4 · (4 + 3 + 2)

= 36 cm

Przeciągnij bryłę myszką albo palcem, żeby ją obrócić. Przerywane linie to krawędzie z tyłu.

Pomaga wyobrazić sobie siatkę prostopadłościanu, czyli pudełko rozcięte wzdłuż krawędzi i rozłożone płasko. Widać na niej 6 prostokątów, po dwa jednakowe z każdego rodzaju.

Przykład 1

Prostopadłościan ma wymiary 6 cm, 4 cm i 3 cm. Pola trzech różnych ścian to $6 \cdot 4 = 24$ , $6 \cdot 3 = 18$ i $4 \cdot 3 = 12$ .

P = 2 \cdot (24 + 18 + 12) = 2 \cdot 54 = 108 \text{ cm}^2

Przykład 2: sześcian

Sześcian ma krawędź 4 cm. Jedna ściana ma pole $4 \cdot 4 = 16 \text{ cm}^2$ , więc

P = 6 \cdot 16 = 96 \text{ cm}^2

Częsty błąd

Nie mnóż wszystkich trzech wymiarów naraz. Iloczyn $a \cdot b \cdot c$ to objętość, a nie pole powierzchni. Pamiętaj też o podwojeniu: każda ściana ma swoją parę po przeciwnej stronie. Jeśli bryła nie ma którejś ściany, np. pudełko bez pokrywki, to jej pola nie doliczasz.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Oblicz pole powierzchni sześcianu o krawędzi 3 cm.

Pokaż całe rozwiązanie

Pole jednej ściany: $3 \cdot 3 = 9 \text{ cm}^2$ .
Sześć ścian: $6 \cdot 9 = 54$ .
Pole powierzchni wynosi $54 \text{ cm}^2$ .

Zadanie 2

Łatwe

Prostopadłościan ma krawędzie długości 2 cm, 3 cm i 4 cm. Ile wynosi jego pole powierzchni?

Pokaż całe rozwiązanie

Pola ścian: $2 \cdot 3 = 6$ , $2 \cdot 4 = 8$ , $3 \cdot 4 = 12$ .
Każda ściana ma swoją parę: $2 \cdot (6 + 8 + 12) = 2 \cdot 26 = 52$ .
Pole wynosi $52 \text{ cm}^2$ . Wynik $26$ to tylko trzy ściany, a $24$ to iloczyn $2 \cdot 3 \cdot 4$ , czyli objętość.

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 5 cm, 4 cm i 2 cm.

Pokaż całe rozwiązanie

$ab = 5 \cdot 4 = 20$ , $ac = 5 \cdot 2 = 10$ , $bc = 4 \cdot 2 = 8$ .
$P = 2 \cdot (20 + 10 + 8) = 2 \cdot 38 = 76$ .
Pole powierzchni wynosi $76 \text{ cm}^2$ .

Zadanie 4

Średnie

Czy to prawda, że sześcian o krawędzi 2 cm ma pole powierzchni równe $24 \text{ cm}^2$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

Pole jednej ściany: $2 \cdot 2 = 4 \text{ cm}^2$ .
$6 \cdot 4 = 24 \text{ cm}^2$ , więc to prawda.

Zadanie 5

Średnie

Prostopadłościan ma wymiary 1 dm, 6 cm i 5 cm. Oblicz jego pole powierzchni w centymetrach kwadratowych.

Pokaż całe rozwiązanie

Wymiary w centymetrach: 10 cm, 6 cm, 5 cm.
Pola ścian: $10 \cdot 6 = 60$ , $10 \cdot 5 = 50$ , $6 \cdot 5 = 30$ .
$P = 2 \cdot (60 + 50 + 30) = 2 \cdot 140 = 280$ .
Pole powierzchni wynosi $280 \text{ cm}^2$ .

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Pole powierzchni sześcianu wynosi $150 \text{ cm}^2$ . Jaką długość ma jego krawędź?

Pokaż całe rozwiązanie

Pole jednej ściany: $150 : 6 = 25 \text{ cm}^2$ .
Ściana to kwadrat, a $5 \cdot 5 = 25$ .
Krawędź ma 5 cm.

Zadanie 7

Trudne

Pudełko w kształcie prostopadłościanu nie ma pokrywki (jest otwarte od góry). Jego dno ma wymiary 20 cm na 15 cm, a wysokość pudełka to 10 cm. Ile centymetrów kwadratowych tektury potrzeba na to pudełko? Pomiń zakładki do klejenia.

Pokaż całe rozwiązanie

Dno: $20 \cdot 15 = 300 \text{ cm}^2$ .
Dwie dłuższe ściany boczne: $2 \cdot (20 \cdot 10) = 400 \text{ cm}^2$ .
Dwie krótsze ściany boczne: $2 \cdot (15 \cdot 10) = 300 \text{ cm}^2$ .
Razem: $300 + 400 + 300 = 1000 \text{ cm}^2$ .

Zadanie 8

Trudne

Krawędź sześcianu zwiększono 2 razy. Ile razy zwiększyło się jego pole powierzchni?

Pokaż całe rozwiązanie

Krawędź 1 cm: $P = 6 \cdot 1 \cdot 1 = 6 \text{ cm}^2$ .
Krawędź 2 cm: $P = 6 \cdot 2 \cdot 2 = 24 \text{ cm}^2$ .
$24 : 6 = 4$ , więc pole zwiększyło się 4 razy. Każda ściana jest 2 razy dłuższa i 2 razy szersza, więc ma 4 razy większe pole.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na pole powierzchni sześcianu?

Sześcian ma 6 jednakowych kwadratowych ścian, więc $P = 6 \cdot a \cdot a = 6a^2$ , gdzie $a$ to długość krawędzi.

Czym różni się pole powierzchni od objętości?

Pole powierzchni mówi, ile miejsca zajmują wszystkie ściany bryły, na przykład ile papieru potrzeba do jej oklejenia. Liczysz je w $\text{cm}^2$ . Objętość mówi, ile bryła mieści w środku, i liczysz ją w $\text{cm}^3$ .

← Wszystko z działu „Graniastosłupy proste” i lista na sprawdzian