Klasa 5 · Kąty i trójkąty

Suma kątów w trójkącie

Q: Czy trójkąt może mieć dwa kąty rozwarte?

Nie. Kąt rozwarty ma więcej niż $90^\circ$, więc dwa takie kąty miałyby razem więcej niż $180^\circ$, a na trzeci kąt nic by nie zostało. Z tego samego powodu trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych.

8 zadań do rozwiązania ↓

Każdy trójkąt ma trzy kąty. Bez względu na kształt trójkąta ich miary zawsze dają razem $180^\circ$ . Dzięki temu, gdy znasz dwa kąty, możesz obliczyć trzeci bez mierzenia kątomierzem.

Suma kątów w trójkącie

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

$\alpha$ , $\beta$ i $\gamma$ to miary trzech kątów trójkąta. Brakujący kąt to $180^\circ$ minus suma dwóch znanych kątów.

Przeciągaj wierzchołki trójkąta w dowolne miejsca. Kąty się zmieniają, ale ich suma zawsze wynosi 180°.

Sprawdź samPrzeciągnij wierzchołki trójkąta

trójkąt ostrokątnytrójkąt różnoboczny

59° + 40° + 81° = 180°. Suma kątów w każdym trójkącie to 180°, niezależnie od kształtu.

Przydadzą Ci się też dwie własności:

w trójkącie prostokątnym jeden kąt ma $90^\circ$ , więc dwa kąty ostre mają razem $90^\circ$ ,
w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, a w równobocznym wszystkie trzy kąty mają po $60^\circ$ .

Przykład 1

Dwa kąty trójkąta mają $40^\circ$ i $75^\circ$ . Trzeci kąt:

180^\circ - (40^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ

Przykład 2: trójkąt równoramienny

Kąt między ramionami ma $100^\circ$ . Na dwa równe kąty przy podstawie zostaje $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ , więc każdy z nich ma

80^\circ : 2 = 40^\circ

Częsty błąd

W trójkącie prostokątnym nie zapominaj o kącie prostym. Jeśli treść podaje tylko jeden kąt ostry, np. $35^\circ$ , to trzeci kąt nie wynosi $180^\circ - 35^\circ$ , tylko $180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ . W trójkącie równoramiennym sprawdź, czy podany kąt leży przy podstawie, czy między ramionami.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Dwa kąty trójkąta mają miary $50^\circ$ i $60^\circ$ . Oblicz miarę trzeciego kąta.

Pokaż całe rozwiązanie

Suma znanych kątów: $50^\circ + 60^\circ = 110^\circ$ .
Trzeci kąt: $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ .

Zadanie 2

Łatwe

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma $35^\circ$ . Ile stopni ma drugi kąt ostry?

Pokaż całe rozwiązanie

Kąty trójkąta: $90^\circ$ , $35^\circ$ i szukany kąt.
$180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$
Wynik $145^\circ$ wychodzi, gdy zapomnisz o kącie prostym.

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Czy to prawda, że istnieje trójkąt o kątach $90^\circ$ , $60^\circ$ i $40^\circ$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$90^\circ + 60^\circ + 40^\circ = 190^\circ$
Suma kątów trójkąta musi wynosić dokładnie $180^\circ$ , a tu jest $190^\circ$ . Taki trójkąt nie istnieje.

Zadanie 4

Średnie

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma $40^\circ$ . Ile stopni ma każdy z kątów przy podstawie?

Pokaż całe rozwiązanie

Na dwa kąty przy podstawie zostaje $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ .
Są równe, więc każdy ma $140^\circ : 2 = 70^\circ$ .

Zadanie 5

Średnie

W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma $50^\circ$ . Ile stopni ma kąt między ramionami?

Pokaż całe rozwiązanie

Dwa kąty przy podstawie: $50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$ .
Kąt między ramionami: $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ .

Trudne

Zadanie 6

Trudne

W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ ma $65^\circ$ , a kąt przy wierzchołku $B$ jest o $15^\circ$ większy od kąta przy wierzchołku $A$ . Oblicz kąt przy wierzchołku $C$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Kąt $B$ : $65^\circ + 15^\circ = 80^\circ$ .
Suma kątów $A$ i $B$ : $65^\circ + 80^\circ = 145^\circ$ .
Kąt $C$ : $180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$ .

Zadanie 7

Trudne

Drugi kąt trójkąta jest 2 razy większy od pierwszego, a trzeci 3 razy większy od pierwszego. Ile stopni ma największy kąt?

Pokaż całe rozwiązanie

Pierwszy kąt to 1 część, drugi 2 części, trzeci 3 części. Razem $1 + 2 + 3 = 6$ części.
6 części to $180^\circ$ , więc jedna część to $180^\circ : 6 = 30^\circ$ .
Kąty mają $30^\circ$ , $60^\circ$ i $90^\circ$ . Największy ma $90^\circ$ .
$30^\circ$ to najmniejszy kąt, a $60^\circ$ to środkowy. Sprawdź, o który kąt pyta zadanie.

Zadanie 8

Trudne

Ściana szczytowa domku ma u góry kształt trójkąta równoramiennego. Jego podstawa leży poziomo, a każda z dwóch połaci dachu tworzy z podstawą kąt $35^\circ$ . Ile stopni ma kąt przy samym szczycie dachu?

Pokaż całe rozwiązanie

Kąty przy podstawie: $35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$ .
Kąt przy szczycie: $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ .
Odpowiedź: kąt przy szczycie dachu ma $110^\circ$ .

Najczęstsze pytania

Ile wynosi suma kątów w trójkącie?

W każdym trójkącie suma miar trzech kątów wynosi $180^\circ$ , niezależnie od tego, czy trójkąt jest duży czy mały, ostrokątny czy rozwartokątny.

Czy trójkąt może mieć dwa kąty rozwarte?

Nie. Kąt rozwarty ma więcej niż $90^\circ$ , więc dwa takie kąty miałyby razem więcej niż $180^\circ$ , a na trzeci kąt nic by nie zostało. Z tego samego powodu trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych.

← Wszystko z działu „Kąty i trójkąty” i lista na sprawdzian