Klasa 5 · Podzielność liczb

Cechy podzielności

Cechy podzielności pozwalają sprawdzić, czy liczba dzieli się bez reszty, bez wykonywania dzielenia. Przy jednych cechach patrzysz na ostatnie cyfry, a przy innych na sumę wszystkich cyfr.

Cechy podzielności

przez 2: ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8,
przez 5: ostatnia cyfra to 0 lub 5,
przez 10: ostatnia cyfra to 0,
przez 4: liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4,
przez 3: suma cyfr dzieli się przez 3,
przez 9: suma cyfr dzieli się przez 9.

Przykład 1

Sprawdź, przez które z liczb 2, 3, 4, 5, 9 dzieli się $2718$ .

Ostatnia cyfra 8, więc dzieli się przez 2, ale nie przez 5.
Dwie ostatnie cyfry tworzą 18, a 18 nie dzieli się przez 4.
Suma cyfr: $2 + 7 + 1 + 8 = 18$ . Dzieli się przez 3 i przez 9.

2718 : 9 = 302

Przykład 2: brakująca cyfra

Jaką cyfrę wpisać w $4\square1$ , żeby liczba dzieliła się przez 3? Suma znanych cyfr to $4 + 1 = 5$ . Dopisujesz cyfrę tak, żeby suma była 6, 9 albo 12, więc pasują cyfry 1, 4 i 7: liczby $411$ , $441$ , $471$ .

Częsty błąd

Przy podzielności przez 3 i przez 9 nie patrz na ostatnią cyfrę. Liczba $39$ kończy się dziewiątką, ale nie dzieli się przez 9, bo suma cyfr to 12. Liczba $3456$ kończy się szóstką, a dzieli się przez 9, bo suma cyfr to 18.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Która z liczb jest podzielna przez 5?

Pokaż całe rozwiązanie

Liczba dzieli się przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to 0 albo 5.
Tylko $1205$ kończy się cyfrą 5.
Pozostałe liczby mają piątkę w środku albo na początku, ale to nie wystarcza.

Zadanie 2

Łatwe

Czy to prawda, że liczba $4572$ jest podzielna przez 3?

Pokaż całe rozwiązanie

Suma cyfr: $4 + 5 + 7 + 2 = 18$ .
$18$ dzieli się przez 3, więc $4572$ też dzieli się przez 3.
Sprawdzenie: $4572 : 3 = 1524$ .

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Która z liczb jest podzielna przez 9?

Pokaż całe rozwiązanie

$1239$ : suma cyfr $1 + 2 + 3 + 9 = 15$ , nie dzieli się przez 9.
$3456$ : suma cyfr $3 + 4 + 5 + 6 = 18$ , dzieli się przez 9.
$4521$ : suma cyfr $12$ dzieli się przez 3, ale nie przez 9.
$9100$ : suma cyfr $10$ , nie dzieli się przez 9.
Odpowiedź: $3456$ (sprawdzenie: $3456 : 9 = 384$ ).

Zadanie 4

Średnie

Jaką cyfrę trzeba wpisać w miejsce kratki w liczbie $52\square$ , żeby otrzymać liczbę podzielną przez 9?

Pokaż całe rozwiązanie

Suma znanych cyfr: $5 + 2 = 7$ .
Najbliższa wielokrotność 9 to 9, więc brakuje $9 - 7 = 2$ . Następna wielokrotność, 18, wymagałaby cyfry 11, a taka cyfra nie istnieje.
Szukana cyfra to 2. Sprawdzenie: $522 : 9 = 58$ .

Zadanie 5

Średnie

Czy to prawda, że każda liczba podzielna przez 3 jest też podzielna przez 9?

Pokaż całe rozwiązanie

Weźmy liczbę 12. Suma cyfr to $1 + 2 = 3$ , więc 12 dzieli się przez 3.
3 nie dzieli się przez 9, więc 12 nie jest podzielne przez 9.
To nieprawda. Działa tylko odwrotnie: każda liczba podzielna przez 9 dzieli się przez 3.

Zadanie 6

Średnie

Ile spośród liczb $116$ , $234$ , $1000$ , $742$ , $3128$ jest podzielnych przez 4?

Pokaż całe rozwiązanie

$116$ : końcówka 16 dzieli się przez 4, tak.
$234$ : końcówka 34 nie dzieli się przez 4, nie.
$1000$ : końcówka 00, tak.
$742$ : końcówka 42 nie dzieli się przez 4, nie.
$3128$ : końcówka 28 dzieli się przez 4, tak.
Przez 4 dzielą się trzy liczby.

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Podaj najmniejszą liczbę trzycyfrową, która jest podzielna jednocześnie przez 2, przez 3 i przez 5.

Pokaż całe rozwiązanie

Podzielna przez 2 i przez 5, więc kończy się cyfrą 0. Kandydaci: $100, 110, 120, \ldots$
$100$ : suma cyfr 1, nie dzieli się przez 3.
$110$ : suma cyfr 2, nie dzieli się przez 3.
$120$ : suma cyfr 3, dzieli się przez 3.
Odpowiedź: $120$ .

Zadanie 8

Trudne

Szkoła kupiła $7\square4$ długopisów, ale jedna cyfra na fakturze się zamazała. Wiadomo, że długopisy rozdano po równo 9 klasom i nic nie zostało. Ile długopisów dostała każda klasa?

Pokaż całe rozwiązanie

Suma znanych cyfr: $7 + 4 = 11$ . Do najbliższej wielokrotności 9, czyli 18, brakuje 7.
Zamazana cyfra to 7, więc długopisów było $774$ .
Każda klasa dostała $774 : 9 = 86$ długopisów.

Najczęstsze pytania

Jaka jest cecha podzielności przez 4?

Liczba dzieli się przez 4, gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4. Na przykład 1 316 dzieli się przez 4, bo 16 dzieli się przez 4.

Czy liczba podzielna przez 9 dzieli się też przez 3?

Tak. Skoro suma cyfr dzieli się przez 9, to dzieli się też przez 3. Odwrotnie to nie działa: 12 dzieli się przez 3, ale nie przez 9.

← Wszystko z działu „Podzielność liczb” i lista na sprawdzian