Klasa 5 · Pola wielokątów

Pole trójkąta

Żeby obliczyć pole trójkąta, potrzebujesz podstawy (dowolnego boku) i wysokości opuszczonej na tę podstawę. Wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, poprowadzony z przeciwległego wierzchołka.

Wzór na pole trójkąta

P = \frac{a \cdot h}{2}

$a$ to długość podstawy, a $h$ to wysokość opuszczona na tę podstawę. Obie długości muszą być w tych samych jednostkach.

Zmieniaj podstawę, wysokość i położenie wierzchołka. Zobacz, że pole zależy tylko od podstawy i wysokości.

Sprawdź samTrójkąt: zmieniaj wymiary

a = 6 cmh = 4 cms = 2

Obwód

6 + 4,5 + 5,7

≈ 16,1 cm

Pole

a · h : 2 = 6 · 4 : 2

= 12 cm²

trójkąt ostrokątny

Przesuwaj wierzchołek suwakiem s. Kształt się zmienia, ale pole nie, bo podstawa i wysokość są te same.

Skąd dzielenie przez 2? Dwa jednakowe trójkąty składają się w równoległobok o podstawie $a$ i wysokości $h$ . Jego pole to $a \cdot h$ , więc jeden trójkąt ma połowę tego pola.

Przykład 1

Trójkąt ma podstawę 10 cm i wysokość 7 cm.

P = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ cm}^2

Przykład 2: trójkąt prostokątny

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są prostopadłe, więc jedna jest wysokością opuszczoną na drugą. Dla przyprostokątnych 6 cm i 8 cm:

P = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ cm}^2

Częsty błąd

Nie zapominaj o dzieleniu przez 2. Iloczyn $a \cdot h$ to pole prostokąta albo równoległoboku, a trójkąt ma połowę tego pola. Pilnuj też, żeby wysokość była opuszczona na tę samą podstawę, której długość wstawiasz do wzoru.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Podstawa trójkąta ma 8 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę ma 5 cm. Oblicz pole trójkąta.

Pokaż całe rozwiązanie

$P = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2}$
$\frac{40}{2} = 20$
Pole trójkąta wynosi $20 \text{ cm}^2$ .

Zadanie 2

Łatwe

Trójkąt ma podstawę 6 cm i wysokość 7 cm. Jakie jest jego pole?

Pokaż całe rozwiązanie

$P = \frac{6 \cdot 7}{2} = \frac{42}{2} = 21$
Pole wynosi $21 \text{ cm}^2$ . Wynik $42 \text{ cm}^2$ to pole prostokąta o tych wymiarach, czyli zapomniane dzielenie przez 2.

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 9 cm i 4 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Pokaż całe rozwiązanie

Przyprostokątne są do siebie prostopadłe, więc jedna jest podstawą, a druga wysokością.
$P = \frac{9 \cdot 4}{2} = \frac{36}{2} = 18$
Pole wynosi $18 \text{ cm}^2$ .

Zadanie 4

Średnie

Czy to prawda, że trójkąt o podstawie 10 cm i wysokości 3 cm ma takie samo pole jak trójkąt o podstawie 5 cm i wysokości 6 cm?

Pokaż całe rozwiązanie

Pierwszy trójkąt: $P = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15 \text{ cm}^2$ .
Drugi trójkąt: $P = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15 \text{ cm}^2$ .
Pola są równe, więc to prawda.

Zadanie 5

Średnie

Podstawa trójkąta ma $1{,}2$ dm, a wysokość opuszczona na tę podstawę ma 5 cm. Oblicz pole trójkąta w centymetrach kwadratowych.

Pokaż całe rozwiązanie

$1{,}2 \text{ dm} = 12 \text{ cm}$
$P = \frac{12 \cdot 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$
Pole wynosi $30 \text{ cm}^2$ .

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Pole trójkąta wynosi $24 \text{ cm}^2$ , a jego podstawa ma 8 cm. Jaką długość ma wysokość opuszczona na tę podstawę?

Pokaż całe rozwiązanie

Skoro $\frac{a \cdot h}{2} = 24$ , to $a \cdot h = 2 \cdot 24 = 48$ .
$8 \cdot h = 48$ , więc $h = 48 : 8 = 6$ .
Wysokość ma 6 cm.

Zadanie 7

Trudne

Pole trójkąta wynosi $18 \text{ cm}^2$ , a wysokość ma 4 cm. Jaką długość ma podstawa, na którą opuszczono tę wysokość?

Pokaż całe rozwiązanie

$a \cdot h = 2 \cdot 18 = 36$
$a = 36 : 4 = 9$
Podstawa ma 9 cm. Wynik $4{,}5$ cm wychodzi, gdy zapomnisz pomnożyć pole przez 2.

Zadanie 8

Trudne

Działka ma kształt trójkąta o podstawie 40 m i wysokości 25 m. Pan Adam chce ją obsiać trawą. Jedna paczka nasion wystarcza na $50 \text{ m}^2$ . Ile paczek nasion musi kupić?

Pokaż całe rozwiązanie

Pole działki: $P = \frac{40 \cdot 25}{2} = \frac{1000}{2} = 500 \text{ m}^2$ .
Liczba paczek: $500 : 50 = 10$ .
Odpowiedź: pan Adam musi kupić 10 paczek nasion.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na pole trójkąta?

Pole trójkąta to połowa iloczynu podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę: P = a · h : 2.

Dlaczego we wzorze na pole trójkąta dzielimy przez 2?

Dwa jednakowe trójkąty można złożyć w równoległobok o tej samej podstawie i wysokości. Pole równoległoboku to a · h, więc jeden trójkąt ma połowę tego pola.

← Wszystko z działu „Pola wielokątów” i lista na sprawdzian