Klasa 6 · Objętość prostopadłościanu

Objętość prostopadłościanu i sześcianu

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła. Mierzysz ją w jednostkach sześciennych: $1\ \text{cm}^3$ to objętość sześcianu o krawędzi 1 cm.

Objętość prostopadłościanu to liczba sześcianików $1\ \text{cm}^3$ , które go wypełniają. Na dnie zmieści się ich tyle, ile wynosi długość razy szerokość, a takich warstw jest tyle, ile wynosi wysokość. Dlatego mnożysz długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

V = a \cdot b \cdot c \qquad V = a^3

$a$ , $b$ i $c$ to długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu. Sześcian ma wszystkie krawędzie równe $a$ , więc $V = a \cdot a \cdot a = a^3$ .
$1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$ i $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3$ .
$1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3$ i $1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3$ .

Obróć prostopadłościan i zmieniaj suwakami jego krawędzie. Zobacz, jak zmienia się objętość.

Sprawdź samProstopadłościan: obróć i zmieniaj wymiary

a = 4 cmb = 3 cmc = 5 cm

ściany

krawędzie

wierzchołki

Objętość

a · b · c = 4 · 3 · 5

= 60 cm³

Pole powierzchni

2 · (4·3 + 4·5 + 3·5)

= 94 cm²

Suma krawędzi

4 · (4 + 3 + 5)

= 48 cm

Przeciągnij bryłę myszką albo palcem, żeby ją obrócić. Przerywane linie to krawędzie z tyłu.

Przykład

Pudełko ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 20 cm, 10 cm i 5 cm.

V = 20 \cdot 10 \cdot 5 = 1000\ \text{cm}^3

$1000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{l}$ , więc do pudełka zmieści się dokładnie litr wody.

Częsty błąd

Przed mnożeniem sprawdź, czy wszystkie krawędzie są w tej samej jednostce. Przy zamianie jednostek objętości nie mnóż przez 10 ani przez 100: $1\ \text{dm}^3$ to aż $1000\ \text{cm}^3$ , bo $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ .

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Prostopadłościan ma krawędzie długości 5 cm, 4 cm i 3 cm. Oblicz jego objętość.

Pokaż całe rozwiązanie

$V = a \cdot b \cdot c$
$V = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
Odpowiedź: objętość wynosi $60\ \text{cm}^3$ .

Zadanie 2

Łatwe

Oblicz objętość sześcianu o krawędzi 4 cm.

Pokaż całe rozwiązanie

$V = a^3$
$V = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
Odpowiedź: objętość wynosi $64\ \text{cm}^3$ .

Zadanie 3

Łatwe

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 6 cm, 4 cm i 2 cm. Ile sześciennych klocków o krawędzi 1 cm zmieści się w tym pudełku?

Pokaż całe rozwiązanie

Na dnie zmieszczą się $6 \cdot 4 = 24$ klocki.
Pudełko ma 2 cm wysokości, więc zmieszczą się 2 takie warstwy: $24 \cdot 2 = 48$ .
Odpowiedź: w pudełku zmieści się 48 klocków. Tyle samo wynosi objętość pudełka w $\text{cm}^3$ .

Średnie

Zadanie 4

Średnie

Ile centymetrów sześciennych ma $1\ \text{dm}^3$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$1\ \text{dm} = 10\ \text{cm}$
$1\ \text{dm}^3 = 10\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} = 1000\ \text{cm}^3$
Liczba 100 to przelicznik dla jednostek pola ( $1\ \text{dm}^2 = 100\ \text{cm}^2$ ), a nie objętości.

Zadanie 5

Średnie

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku 3 cm, a wysokość prostopadłościanu wynosi 7 cm. Oblicz jego objętość.

Pokaż całe rozwiązanie

Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka mają 3 cm, 3 cm i 7 cm.
$V = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63$
Odpowiedź: objętość wynosi $63\ \text{cm}^3$ .

Zadanie 6

Średnie

Akwarium ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 50 cm, 30 cm i 40 cm. Ile litrów wody zmieści się w tym akwarium?

Pokaż całe rozwiązanie

$V = 50 \cdot 30 \cdot 40 = 1500 \cdot 40 = 60\,000\ \text{cm}^3$
$1\ \text{l} = 1000\ \text{cm}^3$ , więc $60\,000\ \text{cm}^3 = (60\,000 : 1000)\ \text{l} = 60\ \text{l}$ .
Odpowiedź: w akwarium zmieści się 60 litrów wody.

Zadanie 7

Średnie

Prostopadłościan ma objętość $120\ \text{cm}^3$ . Dwie jego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka mają 5 cm i 4 cm. Oblicz długość trzeciej krawędzi wychodzącej z tego wierzchołka.

Pokaż całe rozwiązanie

$5 \cdot 4 = 20$
$20 \cdot c = 120$ , więc $c = 120 : 20 = 6$ .
Sprawdzenie: $5 \cdot 4 \cdot 6 = 120$ .
Odpowiedź: trzecia krawędź ma 6 cm.

Zadanie 8

Średnie

Zamień $2{,}5\ \text{dm}^3$ na centymetry sześcienne.

Pokaż całe rozwiązanie

$1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$
$2{,}5\ \text{dm}^3 = 2{,}5 \cdot 1000\ \text{cm}^3 = 2500\ \text{cm}^3$
Odpowiedź: $2{,}5\ \text{dm}^3 = 2500\ \text{cm}^3$ .

Zadanie 9

Średnie

Jeśli jedną krawędź prostopadłościanu wydłużymy dwa razy, a pozostałe dwie zostawimy bez zmian, to jego objętość wzrośnie dwa razy.

Pokaż całe rozwiązanie

Prostopadłościan o krawędziach 2 cm, 3 cm i 4 cm ma objętość $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\ \text{cm}^3$ .
Po wydłużeniu pierwszej krawędzi do 4 cm objętość wynosi $4 \cdot 3 \cdot 4 = 48\ \text{cm}^3$ .
$48 = 2 \cdot 24$ . Tak jest zawsze, bo jeden z trzech czynników iloczynu rośnie dwa razy, a pozostałe się nie zmieniają. To prawda.

Zadanie 10

Średnie

Czy to prawda, że jeśli każdą krawędź sześcianu wydłużymy dwa razy, to jego objętość wzrośnie dwa razy?

Pokaż całe rozwiązanie

Sześcian o krawędzi 1 cm ma objętość $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\ \text{cm}^3$ .
Sześcian o krawędzi 2 cm ma objętość $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\ \text{cm}^3$ .
Objętość wzrosła 8 razy, a nie 2 razy, więc to fałsz.

Trudne

Zadanie 11

Trudne

Akwarium ma kształt prostopadłościanu o długości 60 cm, szerokości 30 cm i wysokości 40 cm. Wlano do niego wodę do wysokości 35 cm. Ile litrów wody jest w akwarium?

Pokaż całe rozwiązanie

Objętość wody: $60 \cdot 30 \cdot 35 = 1800 \cdot 35 = 63\,000\ \text{cm}^3$ .
$1\ \text{l} = 1000\ \text{cm}^3$ , więc $63\,000\ \text{cm}^3 = (63\,000 : 1000)\ \text{l} = 63\ \text{l}$ .
Odpowiedź: w akwarium są 63 litry wody.

Zadanie 12

Trudne

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 6 cm, 4 cm i 10 cm. Ile sześciennych klocków o krawędzi 2 cm zmieści się w tym pudełku?

Pokaż całe rozwiązanie

Wzdłuż krawędzi 6 cm zmieszczą się $6 : 2 = 3$ klocki.
Wzdłuż krawędzi 4 cm zmieszczą się $4 : 2 = 2$ klocki, a wzdłuż krawędzi 10 cm: $10 : 2 = 5$ klocków.
$3 \cdot 2 \cdot 5 = 30$
Sprawdzenie: pudełko ma objętość $6 \cdot 4 \cdot 10 = 240\ \text{cm}^3$ , a jeden klocek $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\ \text{cm}^3$ , więc $240 : 8 = 30$ .
Odpowiedź: w pudełku zmieści się 30 klocków.

Najczęstsze pytania

Ile to jest litr?

Litr to tyle samo co 1 dm³, czyli objętość sześcianu o krawędzi 10 cm. Ma 1000 cm³. Mililitr to tysięczna część litra, więc 1 ml = 1 cm³.

Ile litrów ma metr sześcienny?

Jeden litr to 1 dm³. Metr sześcienny to sześcian o krawędzi 10 dm, więc ma 10 · 10 · 10 = 1000 dm³, czyli 1000 litrów.

← Wszystko z działu „Objętość prostopadłościanu” i lista na sprawdzian