Klasa 6 · Koło i okrąg

Promień, średnica i cięciwa

Okrąg o środku $O$ to wszystkie punkty, które leżą w tej samej odległości od punktu $O$ . Ta odległość to promień, oznaczany literą $r$ . Koło to okrąg razem z jego wnętrzem.

Cięciwa to odcinek, który łączy dwa punkty okręgu. Średnica to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Jest najdłuższą cięciwą i składa się z dwóch promieni.

Promień i średnica

d = 2r \qquad r = d : 2

Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka jest równa $r$ .
Punkt leży wewnątrz okręgu, gdy ta odległość jest mniejsza od $r$ , a na zewnątrz, gdy jest większa.

Zmieniaj promień koła suwakiem i zobacz, że średnica jest zawsze dwa razy dłuższa.

Sprawdź samKoło: zmieniaj wymiary

r = 3 cm

Promień to odległość od środka do brzegu, a średnica to dwa promienie.

Przykład

Średnica okręgu ma 7 cm. Promień to połowa średnicy: $r = 7 : 2 = 3{,}5$ cm. Każda cięciwa tego okręgu ma co najwyżej 7 cm.

Częsty błąd

Uważnie czytaj, czy w zadaniu podano promień, czy średnicę. Jeśli średnica ma 10 cm, to promień ma 5 cm, a nie 20 cm. Średnica jest zawsze dwa razy dłuższa od promienia.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Promień okręgu ma długość 7 cm. Jaką długość ma średnica tego okręgu?

Pokaż całe rozwiązanie

$d = 2r$
$d = 2 \cdot 7 = 14$
Odpowiedź: średnica ma 14 cm.

Zadanie 2

Łatwe

Średnica koła ma długość 9 cm. Jaką długość ma promień tego koła?

Pokaż całe rozwiązanie

$r = d : 2$
$r = 9 : 2 = 4{,}5$
Odpowiedź: promień ma $4{,}5$ cm.

Zadanie 3

Łatwe

Czy to prawda, że każda średnica okręgu jest jego cięciwą?

Pokaż całe rozwiązanie

Cięciwa to każdy odcinek o obu końcach na okręgu.
Średnica też ma oba końce na okręgu, tylko dodatkowo przechodzi przez jego środek.
Średnica jest więc cięciwą, i to najdłuższą. To prawda.

Średnie

Zadanie 4

Średnie

Jaką długość ma najdłuższa cięciwa okręgu o promieniu 6 cm?

Pokaż całe rozwiązanie

Najdłuższą cięciwą jest średnica.
$d = 2 \cdot 6 = 12$ , więc najdłuższa cięciwa ma 12 cm.
6 cm to promień, a nie średnica. Wynik 3 cm to połowa promienia, a 36 cm to $6 \cdot 6$ .

Zadanie 5

Średnie

Czy to prawda, że okrąg o promieniu 5 cm może mieć cięciwę długości 11 cm?

Pokaż całe rozwiązanie

Najdłuższa cięciwa to średnica: $2 \cdot 5 = 10$ cm.
Żadna cięciwa nie może być dłuższa niż 10 cm, a $11 > 10$ .
To fałsz.

Zadanie 6

Średnie

Okrąg ma środek w punkcie $O$ i promień 4 cm. Punkt $A$ leży w odległości 3 cm od punktu $O$ . Gdzie leży punkt $A$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

Punkty okręgu leżą dokładnie 4 cm od środka.
Punkt $A$ leży bliżej środka, bo $3 < 4$ .
Punkt $A$ leży więc wewnątrz okręgu.

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Średnica koła ma 13 cm. Punkt $B$ leży w odległości 7 cm od środka tego koła. Punkt $B$ leży wewnątrz koła.

Pokaż całe rozwiązanie

Promień to połowa średnicy: $r = 13 : 2 = 6{,}5$ cm.
Punkt $B$ leży 7 cm od środka, a $7 > 6{,}5$ .
Punkt $B$ leży dalej od środka niż punkty okręgu, czyli na zewnątrz koła. To fałsz.

Zadanie 8

Trudne

Dno pudełka ma kształt prostokąta. Na dnie leżą w jednym rzędzie 3 okrągłe ciasteczka o promieniu 2 cm. Sąsiednie ciasteczka stykają się ze sobą, każde ciasteczko dotyka obu dłuższych boków dna, a dwa skrajne dotykają też krótszych boków. Oblicz obwód dna pudełka.

Pokaż całe rozwiązanie

Średnica ciasteczka: $2 \cdot 2 = 4$ cm.
Krótszy bok dna ma długość jednej średnicy, czyli 4 cm.
Dłuższy bok dna ma długość trzech średnic: $3 \cdot 4 = 12$ cm.
Obwód: $2 \cdot 12 + 2 \cdot 4 = 24 + 8 = 32$ .
Odpowiedź: obwód dna pudełka wynosi 32 cm.

Najczęstsze pytania

Czym różni się okrąg od koła?

Okrąg to sama linia, czyli wszystkie punkty oddalone od środka dokładnie o promień. Koło to okrąg razem z całym jego wnętrzem. Obręcz to model okręgu, a moneta to model koła.

Ile średnic ma okrąg?

Nieskończenie wiele. Przez środek okręgu możesz poprowadzić odcinek w dowolnym kierunku, a każdy taki odcinek o końcach na okręgu jest średnicą. Wszystkie średnice mają tę samą długość.

← Wszystko z działu „Koło i okrąg” i lista na sprawdzian