Przejdź do treści
pomoc z matmy

Klasa 6 · Liczby naturalne i podzielność

NWD i NWW

8 zadań do rozwiązania ↓

NWD to największy wspólny dzielnik dwóch liczb, czyli największa liczba, przez którą dzielą się obie. NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli najmniejsza liczba (większa od zera), która dzieli się przez obie liczby.

Dla małych liczb wystarczy wypisać dzielniki albo wielokrotności. Dla większych najszybciej działa rozkład na czynniki pierwsze.

Jak obliczyć NWD i NWW

  • Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze.
  • NWD to iloczyn czynników wspólnych dla obu rozkładów.
  • NWW to rozkład większej liczby pomnożony przez te czynniki mniejszej liczby, których w nim brakuje.
  • Zawsze zachodzi: NWD(a,b)⋅NWW(a,b)=a⋅b\text{NWD}(a, b) \cdot \text{NWW}(a, b) = a \cdot b.

NWD i NWW liczb 24 i 36

24=2⋅2⋅2⋅3,36=2⋅2⋅3⋅324 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3, \qquad 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Wspólne czynniki to 22, 22 i 33, więc NWD(24,36)=2⋅2⋅3=12\text{NWD}(24, 36) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12.

W rozkładzie 36 brakuje jednej dwójki z rozkładu 24, więc NWW(24,36)=36⋅2=72\text{NWW}(24, 36) = 36 \cdot 2 = 72.

Sprawdzenie: 12⋅72=86412 \cdot 72 = 864 oraz 24⋅36=86424 \cdot 36 = 864.

Częsty błąd

Nie myl NWD z NWW. NWD nie może być większy od mniejszej z liczb, a NWW nie może być mniejsza od większej z nich. Nie licz też NWW jako zwykłego iloczynu: 4⋅6=244 \cdot 6 = 24, ale NWW(4,6)=12\text{NWW}(4, 6) = 12.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Oblicz NWD(12,18)\text{NWD}(12, 18).

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  2. Dzielniki liczby 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
  3. Wspólne dzielniki to 1, 2, 3 i 6. Największy z nich to 6, więc NWD(12,18)=6\text{NWD}(12, 18) = 6.

Zadanie 2

Łatwe

Oblicz NWW(4,6)\text{NWW}(4, 6).

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18, …
  2. 6 nie dzieli się przez 4, a 12 dzieli się przez 4.
  3. Najmniejsza wspólna wielokrotność to 12, więc NWW(4,6)=12\text{NWW}(4, 6) = 12.

Zadanie 3

Łatwe

Który zapis to rozkład liczby 60 na czynniki pierwsze?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Dzielimy przez kolejne liczby pierwsze: 60:2=3060 : 2 = 30, 30:2=1530 : 2 = 15, 15:3=515 : 3 = 5, 5:5=15 : 5 = 1.
  2. Rozkład: 60=2⋅2⋅3⋅560 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5.
  3. W zapisach 2⋅3⋅102 \cdot 3 \cdot 10 i 4⋅154 \cdot 15 są liczby złożone (10, 4 i 15). Iloczyn 2⋅3⋅52 \cdot 3 \cdot 5 to tylko 30, bo brakuje drugiej dwójki.

Średnie

Zadanie 4

Średnie

Oblicz NWD(36,48)\text{NWD}(36, 48).

Pokaż całe rozwiązanie
  1. 36=2⋅2⋅3⋅336 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
  2. 48=2⋅2⋅2⋅2⋅348 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3
  3. Wspólne czynniki to 22, 22 i 33.
  4. NWD(36,48)=2⋅2⋅3=12\text{NWD}(36, 48) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

Zadanie 5

Średnie

Ile wynosi NWW(12,18)\text{NWW}(12, 18)?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. 12=2⋅2⋅312 = 2 \cdot 2 \cdot 3, 18=2⋅3⋅318 = 2 \cdot 3 \cdot 3.
  2. W rozkładzie 18 brakuje jednej dwójki z rozkładu 12.
  3. NWW(12,18)=18⋅2=36\text{NWW}(12, 18) = 18 \cdot 2 = 36.
  4. Liczba 6 to NWD tych liczb, a 216 to ich iloczyn, który jest wspólną wielokrotnością, ale nie najmniejszą.

Zadanie 6

Średnie

Czy to prawda, że NWD dwóch różnych liczb pierwszych jest zawsze równy 1?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Liczba pierwsza ma tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie.
  2. Dwie różne liczby pierwsze mają więc tylko jeden wspólny dzielnik, czyli 1.
  3. Na przykład NWD(5,7)=1\text{NWD}(5, 7) = 1. To prawda.

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Z przystanku o 8:00 odjechały jednocześnie dwa autobusy. Autobus linii 12 odjeżdża z tego przystanku co 12 minut, a autobus linii 20 co 20 minut. Po ilu minutach oba autobusy znowu odjadą jednocześnie?

min
Pokaż całe rozwiązanie
  1. Szukamy NWW(12,20)\text{NWW}(12, 20).
  2. 12=2⋅2⋅312 = 2 \cdot 2 \cdot 3, 20=2⋅2⋅520 = 2 \cdot 2 \cdot 5.
  3. NWW(12,20)=2⋅2⋅3⋅5=60\text{NWW}(12, 20) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60.
  4. Odpowiedź: autobusy znowu odjadą razem po 60 minutach, czyli o 9:00.

Zadanie 8

Trudne

Kwiaciarka ma 24 róże i 36 tulipanów. Chce zrobić z nich jak najwięcej jednakowych bukietów, wykorzystując wszystkie kwiaty. Ile bukietów zrobi?

bukietów
Pokaż całe rozwiązanie
  1. Szukamy NWD(24,36)\text{NWD}(24, 36).
  2. 24=2⋅2⋅2⋅324 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3, 36=2⋅2⋅3⋅336 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3.
  3. Wspólne czynniki: 2⋅2⋅3=122 \cdot 2 \cdot 3 = 12.
  4. W każdym bukiecie będą 24:12=224 : 12 = 2 róże i 36:12=336 : 12 = 3 tulipany.
  5. Odpowiedź: kwiaciarka zrobi 12 bukietów.

Najczęstsze pytania

Kiedy w zadaniu tekstowym liczyć NWD, a kiedy NWW?

NWD liczysz, gdy coś dzielisz na jak największe równe części, na przykład kwiaty na jednakowe bukiety. NWW liczysz, gdy szukasz najbliższego momentu, w którym coś się powtórzy razem, na przykład gdy dwa autobusy znowu odjadą jednocześnie.

Czy NWW dwóch liczb to zawsze ich iloczyn?

Nie. Iloczyn jest równy NWW tylko wtedy, gdy liczby nie mają wspólnych dzielników poza 1, na przykład NWW(4, 9) = 36. Dla liczb 4 i 6 iloczyn to 24, a NWW to 12.

← Wszystko z działu „Liczby naturalne i podzielność” i lista na sprawdzian