Klasa 7 · Graniastosłupy

Objętość i pole powierzchni graniastosłupa

Graniastosłup prosty ma dwie jednakowe, równoległe podstawy (dowolne wielokąty) i ściany boczne w kształcie prostokątów. Prostopadłościan i sześcian to szczególne graniastosłupy. Żeby obliczyć objętość, potrzebujesz pola podstawy i wysokości. Żeby obliczyć pole powierzchni, sumujesz pola wszystkich ścian.

V = P_p \cdot H

P_c = 2 \cdot P_p + P_b

$P_p$ to pole podstawy, $H$ to wysokość graniastosłupa, a $P_b$ to pole powierzchni bocznej, czyli suma pól wszystkich ścian bocznych. W graniastosłupie prostym $P_b$ to obwód podstawy razy $H$ .

Obróć bryłę, zmieniaj wymiary i włącz siatkę, żeby zobaczyć wszystkie ściany naraz.

Sprawdź samProstopadłościan: obróć i zmieniaj wymiary

a = 4 cmb = 3 cmc = 5 cm

ściany

krawędzie

wierzchołki

Objętość

a · b · c = 4 · 3 · 5

= 60 cm³

Pole powierzchni

2 · (4·3 + 4·5 + 3·5)

= 94 cm²

Suma krawędzi

4 · (4 + 3 + 5)

= 48 cm

Przeciągnij bryłę myszką albo palcem, żeby ją obrócić. Przerywane linie to krawędzie z tyłu.

Szczególne przypadki

Bryła	Objętość	Pole powierzchni
prostopadłościan $a \times b \times c$	$V = a \cdot b \cdot c$	$P_c = 2(ab + bc + ac)$
sześcian o krawędzi $a$	$V = a^3$	$P_c = 6a^2$

Przykład 1: prostopadłościan

Pudełko ma wymiary 2 dm, 3 dm i 5 dm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni.

$V = 2 \cdot 3 \cdot 5 =$ $30\ \text{dm}^3$ . $P_c = 2(2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 5) = 2(6 + 15 + 10) =$ $62\ \text{dm}^2$ .

Przykład 2: graniastosłup o podstawie trapezu

Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez o podstawach 4 cm i 6 cm oraz wysokości 3 cm. Wysokość graniastosłupa to 10 cm. Oblicz objętość.

Pole podstawy: $P_p = \frac{(4 + 6) \cdot 3}{2} = 15\ \text{cm}^2$ . Objętość: $V = 15 \cdot 10 =$ $150\ \text{cm}^3$ .

Częsty błąd

Wysokość graniastosłupa $H$ to nie to samo co wysokość trójkąta lub trapezu w podstawie. Uważaj też na pole powierzchni: liczysz dwie podstawy, a nie jedną. Na końcu sprawdź jednostki: objętość jest w $\text{cm}^3$ , a pole w $\text{cm}^2$ .

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Prostopadłościan ma krawędzie długości 3 cm, 4 cm i 5 cm. Oblicz jego objętość.

Pokaż całe rozwiązanie

$V = a \cdot b \cdot c = 3 \cdot 4 \cdot 5$
$V = 60\ \text{cm}^3$

Zadanie 2

Łatwe

Oblicz pole powierzchni sześcianu o krawędzi 5 cm.

Pokaż całe rozwiązanie

Pole jednej ściany: $5 \cdot 5 = 25\ \text{cm}^2$ .
Pole powierzchni: $6 \cdot 25 = 150\ \text{cm}^2$ .

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Ile krawędzi ma graniastosłup, którego podstawą jest sześciokąt?

Pokaż całe rozwiązanie

Każda podstawa ma 6 krawędzi: razem $2 \cdot 6 = 12$ .
Krawędzi bocznych jest tyle, ile wierzchołków podstawy, czyli 6.
Razem: $12 + 6 = 18$ . Wynik 12 to same krawędzie podstaw, a 8 to liczba ścian.

Zadanie 4

Średnie

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm. Oblicz jego objętość.

Pokaż całe rozwiązanie

Pole podstawy: $P_p = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\ \text{cm}^2$ .
$V = P_p \cdot H = 24 \cdot 10 = 240\ \text{cm}^3$

Zadanie 5

Średnie

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa z poprzedniego zadania: podstawa to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm, a wysokość graniastosłupa to 10 cm.

Pokaż całe rozwiązanie

Trzeci bok podstawy: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ cm.
Pole boczne: $(6 + 8 + 10) \cdot 10 = 240\ \text{cm}^2$ .
Dwie podstawy: $2 \cdot 24 = 48\ \text{cm}^2$ .
$P_c = 48 + 240 = 288\ \text{cm}^2$

Zadanie 6

Średnie

Czy to prawda, że jeśli każdą krawędź sześcianu wydłużysz 2 razy, to jego objętość też wzrośnie 2 razy?

Pokaż całe rozwiązanie

Krawędź $a$ : $V = a^3$ .
Krawędź $2a$ : $V = (2a)^3 = 8a^3$ .
Objętość wzrośnie 8 razy, a nie 2 razy. To fałsz.

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Akwarium w kształcie prostopadłościanu ma długość 60 cm, szerokość 30 cm i wysokość 40 cm. Wlano do niego wodę do $\frac{3}{4}$ wysokości. Ile litrów wody jest w akwarium?

Pokaż całe rozwiązanie

Wysokość wody: $\frac{3}{4} \cdot 40 = 30$ cm.
Objętość wody: $60 \cdot 30 \cdot 30 = 54\,000\ \text{cm}^3$ .
$54\,000\ \text{cm}^3 = 54\ \text{l}$

Zadanie 8

Trudne

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma objętość $72\ \text{cm}^3$ i wysokość 8 cm. Oblicz jego pole powierzchni całkowitej.

Pokaż całe rozwiązanie

Pole podstawy: $P_p = V : H = 72 : 8 = 9\ \text{cm}^2$ .
Podstawa to kwadrat, więc jej bok ma $\sqrt{9} = 3$ cm.
Pole boczne: $4 \cdot 3 \cdot 8 = 96\ \text{cm}^2$ .
$P_c = 2 \cdot 9 + 96 = 114\ \text{cm}^2$

Najczęstsze pytania

Czym różni się graniastosłup prosty od prawidłowego?

W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, więc ściany boczne są prostokątami. Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, np. trójkąt równoboczny albo kwadrat.

Jak zamienić centymetry sześcienne na litry?

Zapamiętaj, że $1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$ . Wynik w $\text{cm}^3$ dzielisz więc przez 1000, np. $2500\ \text{cm}^3 = 2{,}5\ \text{l}$ . Z kolei $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{l}$ .

← Wszystko z działu „Graniastosłupy” i lista na sprawdzian