Klasa 7 · Liczby wymierne

Działania na liczbach wymiernych

Liczby wymierne to wszystkie liczby, które da się zapisać jako ułamek $\frac{a}{b}$ z liczb całkowitych (gdzie $b \neq 0$ ): liczby całkowite, ułamki zwykłe i dziesiętne, dodatnie i ujemne. Działania na nich wykonujesz tak jak na ułamkach, pilnując tylko znaku i kolejności działań.

Działania na ułamkach

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Przy dodawaniu i odejmowaniu potrzebujesz wspólnego mianownika. Dzielenie zamieniasz na mnożenie przez odwrotność.

Znaki przy mnożeniu i dzieleniu

Działanie	Znak wyniku	Przykład
plus razy plus	$+$	$2 \cdot 3 = 6$
minus razy minus	$+$	$(-2) \cdot (-3) = 6$
plus razy minus	$-$	$2 \cdot (-3) = -6$

Kolejność działań: najpierw nawiasy, potem potęgi, potem mnożenie i dzielenie (od lewej), na końcu dodawanie i odejmowanie.

Przykład 1

Oblicz $-\frac{3}{5} \cdot 2\frac{1}{2}$ .

Zamieniasz liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ . Mnożysz: $-\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2} =$ $-1\frac{1}{2}$ .

Przykład 2: ułamki zwykłe i dziesiętne razem

Oblicz $0{,}4 + \frac{3}{4}$ .

Zamieniasz ułamek zwykły na dziesiętny: $\frac{3}{4} = 0{,}75$ . Dodajesz: $0{,}4 + 0{,}75 =$ $1{,}15$ .

Częsty błąd

Przy dodawaniu ułamków nie dodajesz mianowników: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ , a nie $\frac{2}{5}$ . Uważaj też na kolejność działań: w $2 - 0{,}5 \cdot 4$ najpierw mnożysz, więc wynik to $0$ , a nie $6$ .

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Oblicz $-\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$-\frac{2}{3} = -\frac{8}{12}$ oraz $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ .
$-\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = -\frac{5}{12}$

Zadanie 2

Łatwe

Oblicz $-1{,}2 \cdot (-0{,}5)$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Znak: minus razy minus daje plus.
$1{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}6$ , więc wynik to $0{,}6$ .

Zadanie 3

Łatwe

Ile wynosi $\frac{3}{4} : \frac{3}{8}$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$\frac{3}{4} : \frac{3}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3}$
$\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 3} = \frac{24}{12} = 2$
Wynik $\frac{9}{32}$ dostaniesz, gdy zamiast dzielić pomnożysz, a $\frac{1}{2}$ , gdy odwrócisz pierwszy ułamek zamiast drugiego.

Średnie

Zadanie 4

Średnie

Oblicz $2\frac{1}{2} - 0{,}75 \cdot 4$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Mnożenie: $0{,}75 \cdot 4 = 3$ .
$2\frac{1}{2} = 2{,}5$ , więc $2{,}5 - 3 = -0{,}5$ .

Zadanie 5

Średnie

Zaokrąglij liczbę $3{,}4762$ do części setnych.

Pokaż całe rozwiązanie

Cyfra setnych to 7, a cyfra tysięcznych to 6.
$6 \geq 5$ , więc cyfrę setnych zwiększasz o 1: $3{,}4762 \approx 3{,}48$ .

Zadanie 6

Średnie

Czy to prawda, że $\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot (-3) = 1$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$
Trzy czynniki ujemne dają wynik ujemny, więc wynik to $-1$ , a nie 1. To fałsz.

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Oblicz $\left(\frac{1}{2} - \frac{5}{6}\right) : \left(-\frac{2}{3}\right) + 1{,}5$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Nawias: $\frac{1}{2} - \frac{5}{6} = \frac{3}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ .
Dzielenie: $-\frac{1}{3} : \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}$ .
Dodawanie: $\frac{1}{2} + 1{,}5 = 0{,}5 + 1{,}5 = 2$ .

Zadanie 8

Trudne

Rano termometr pokazywał $-4{,}5$ stopnia Celsjusza. Do południa temperatura wzrosła o $7{,}2$ stopnia, a do wieczora spadła o $\frac{3}{4}$ tego wzrostu. Jaka temperatura była wieczorem?

Pokaż całe rozwiązanie

W południe: $-4{,}5 + 7{,}2 = 2{,}7$ stopnia.
Spadek: $\frac{3}{4} \cdot 7{,}2 = 5{,}4$ stopnia.
Wieczorem: $2{,}7 - 5{,}4 = -2{,}7$ stopnia.

Najczęstsze pytania

Jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny?

Podziel licznik przez mianownik, np. $\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375$ . Czasem dzielenie się nie kończy, np. $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$ . To rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.

Kiedy iloczyn kilku liczb jest ujemny?

Policz czynniki ujemne. Jeśli jest ich nieparzyście dużo (1, 3, 5…), wynik jest ujemny. Jeśli parzyście dużo (2, 4…), wynik jest dodatni. Ta sama zasada działa przy dzieleniu.

← Wszystko z działu „Liczby wymierne” i lista na sprawdzian