$12 \cdot 12 = 144$ Więc $\sqrt{144} = 12$.

Klasa 7 · Pierwiastki

Pierwiastki – obliczanie i wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej $a$ to taka liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje $a$ . Na przykład $\sqrt{36} = 6$ , bo $6^2 = 36$ . Pierwiastek sześcienny $\sqrt[3]{a}$ to liczba, która podniesiona do sześcianu daje $a$ , np. $\sqrt[3]{8} = 2$ , bo $2^3 = 8$ .

Działania na pierwiastkach

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}

\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b} \quad (b \neq 0)

\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}

Wzory działają dla liczb nieujemnych $a$ i $b$ . Ostatni z nich to wyłączanie czynnika przed pierwiastek.

Kwadraty, które warto znać

$n$	11	12	13	14	15	16	20	25
$n^2$	121	144	169	196	225	256	400	625

Przykład 1: wyłączanie czynnika

Wyłącz czynnik przed pierwiastek w $\sqrt{72}$ .

Szukasz największego kwadratu, który dzieli 72. To 36: $72 = 36 \cdot 2$ . Więc $\sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} =$ $6\sqrt{2}$ .

Przykład 2: dodawanie pierwiastków

Oblicz $3\sqrt{5} + \sqrt{20}$ .

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ . Teraz pod pierwiastkami jest ta sama liczba, więc dodajesz liczby przed nimi: $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} =$ $5\sqrt{5}$ .

Częsty błąd

Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , a nie $3 + 4 = 7$ . Nie dodajesz też liczb pod pierwiastkami: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$ . Pierwiastki możesz dodawać tylko wtedy, gdy pod nimi jest ta sama liczba.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Oblicz $\sqrt{144}$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$12 \cdot 12 = 144$
Więc $\sqrt{144} = 12$ .

Zadanie 2

Łatwe

Oblicz $\sqrt[3]{125}$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
Więc $\sqrt[3]{125} = 5$ .

Zadanie 3

Łatwe

Oblicz $\sqrt{\frac{16}{49}}$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$\sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}$
$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}} = \frac{4}{7}$

Średnie

Zadanie 4

Średnie

Który zapis jest równy $\sqrt{50}$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$50 = 25 \cdot 2$ , a 25 to kwadrat liczby 5.
$\sqrt{50} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
Przed pierwiastek wychodzi $\sqrt{25} = 5$ , a nie samo 25.

Zadanie 5

Średnie

Czy to prawda, że $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16}$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

Lewa strona: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Prawa strona: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .
$5 \neq 7$ , więc to fałsz. Pierwiastka z sumy nie rozbijasz na sumę pierwiastków.

Zadanie 6

Średnie

Oblicz $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36}$
$\sqrt{36} = 6$

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Ile wynosi $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
Odpowiedź $\sqrt{39}$ to błąd dodawania liczb pod pierwiastkiem, a $6\sqrt{3}$ to pomnożenie 2 i 3 zamiast dodania.

Zadanie 8

Trudne

Działka w kształcie kwadratu ma pole $225\ \text{m}^2$ . Ile metrów siatki potrzeba na ogrodzenie całej działki?

Pokaż całe rozwiązanie

Bok działki: $a = \sqrt{225} = 15$ m.
Obwód: $4 \cdot 15 = 60$ m.
Potrzeba 60 m siatki.

Najczęstsze pytania

Czy można obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej?

Nie. Kwadrat każdej liczby jest nieujemny, więc żadna liczba podniesiona do kwadratu nie da wyniku ujemnego. Za to pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, np. $\sqrt[3]{-8} = -2$ , bo $(-2)^3 = -8$ .

Jak oszacować pierwiastek, który nie jest liczbą całkowitą?

Znajdź dwa sąsiednie kwadraty liczb naturalnych. Na przykład $49 < 50 < 64$ , więc $7 < \sqrt{50} < 8$ . Liczba 50 leży bardzo blisko 49, więc $\sqrt{50}$ jest tylko trochę większy od 7.

← Wszystko z działu „Pierwiastki” i lista na sprawdzian