Klasa 7 · Potęgi

Działania na potęgach

Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ . Liczba na dole to podstawa, a mała liczba u góry to wykładnik. Gdy potęgi mają tę samą podstawę, możesz je mnożyć i dzielić bez liczenia całych wartości.

Działania na potęgach o tej samej podstawie

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

a^m : a^n = a^{m-n} \quad (a \neq 0)

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Przy mnożeniu wykładniki dodajesz, przy dzieleniu odejmujesz, a przy potędze potęgi mnożysz.

Skąd to się bierze

Działanie	Rozpisane	Wynik
$2^3 \cdot 2^2$	$(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)$	$2^5$
$2^5 : 2^2$	$\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$	$2^3$
$(2^3)^2$	$2^3 \cdot 2^3$	$2^6$

Przykład 1

Oblicz $\frac{7^8}{7^6}$ .

Odejmujesz wykładniki: $7^{8-6} = 7^2 =$ 49.

Przykład 2: wszystkie reguły naraz

Uprość $(5^2)^3 \cdot 5^4 : 5^9$ .

Potęga potęgi: $(5^2)^3 = 5^6$ . Mnożenie: $5^6 \cdot 5^4 = 5^{10}$ . Dzielenie: $5^{10} : 5^9 = 5^1 =$ 5.

Częsty błąd

Przy mnożeniu potęg nie mnożysz wykładników: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , a nie $2^{12}$ . Nie mnożysz też podstaw: $3^4 \cdot 3^2 = 3^6$ , a nie $9^6$ .

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Zapisz iloczyn $3^5 \cdot 3^2$ w postaci jednej potęgi liczby 3. Podaj wykładnik tej potęgi.

Pokaż całe rozwiązanie

$3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+2}$
$3^{5+2} = 3^7$ , więc wykładnik to 7.

Zadanie 2

Łatwe

Oblicz wartość wyrażenia $5^9 : 5^6$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$5^9 : 5^6 = 5^{9-6} = 5^3$
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Zadanie 3

Łatwe

Który zapis jest równy $a^4 \cdot a^5$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$a^4 \cdot a^5 = a^{4+5} = a^9$
Wykładników nie mnożysz ( $a^{20}$ to błąd), a podstawa się nie zmienia (nie ma żadnej dwójki).

Średnie

Zadanie 4

Średnie

Który zapis jest równy $(2^3)^4$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$(2^3)^4 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3$
To jest $2^{3+3+3+3} = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$ .

Zadanie 5

Średnie

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{2^{10}}{2^4 \cdot 2^3}$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Mianownik: $2^4 \cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7$ .
Całość: $\frac{2^{10}}{2^7} = 2^{10-7} = 2^3$ .
$2^3 = 8$

Zadanie 6

Średnie

Czy to prawda, że $3^4 \cdot 3^2 = 9^6$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

Poprawnie: $3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$ .
Podstaw się nie mnoży. Dla porównania: $3^6 = 729$ , a $9^6 = 531\,441$ .
To fałsz.

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{(3^2)^5 \cdot 3^3}{3^{11}}$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$(3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$
$3^{10} \cdot 3^3 = 3^{13}$
$3^{13} : 3^{11} = 3^{2} = 9$

Zadanie 8

Trudne

Liczba bakterii w hodowli podwaja się co godzinę. Na początku było $2^4$ bakterii. Ile bakterii będzie po 6 godzinach?

Pokaż całe rozwiązanie

Po 6 godzinach liczbę bakterii mnożysz 6 razy przez 2, czyli przez $2^6$ .
$2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10}$
$2^{10} = 1024$ , więc będą 1024 bakterie.

Najczęstsze pytania

Kiedy dodajemy wykładniki, a kiedy je mnożymy?

Wykładniki dodajesz, gdy mnożysz potęgi o tej samej podstawie, np. $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ . Mnożysz je, gdy potęgę podnosisz do potęgi, np. $(2^3)^4 = 2^{12}$ .

Czy można mnożyć potęgi o różnych podstawach?

Wzór na dodawanie wykładników działa tylko dla tej samej podstawy. Czasem da się sprowadzić podstawy do jednej, np. $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$ , więc $4^3 \cdot 2^5 = 2^6 \cdot 2^5 = 2^{11}$ .

← Wszystko z działu „Potęgi” i lista na sprawdzian