Klasa 7 · Proporcjonalność prosta

Proporcje i wielkości wprost proporcjonalne

Proporcja to równość dwóch ilorazów, np. $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$ . Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy rosną (lub maleją) tyle samo razy: 2 razy więcej zeszytów kosztuje 2 razy więcej. Do zadań z takimi wielkościami najlepiej pasuje właśnie proporcja.

Proporcja i proporcjonalność prosta

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Longleftrightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c

y = a \cdot x

Pierwszy wzór to mnożenie „na krzyż” (dla $b \neq 0$ i $d \neq 0$ ). Drugi opisuje wielkości wprost proporcjonalne, a $a$ to współczynnik proporcjonalności.

Przykład z tabelką

Długopis kosztuje 3 zł. Cena jest wprost proporcjonalna do liczby długopisów, a iloraz cena : liczba zawsze wynosi 3.

Liczba długopisów	1	2	4	10
Cena (zł)	3	6	12	30

Przykład 1

Rozwiąż proporcję $\frac{3}{x} = \frac{9}{12}$ .

Mnożysz na krzyż: $9x = 3 \cdot 12 = 36$ . Dzielisz przez 9: $x = 4$ .

Przykład 2: przepis

Na naleśniki dla 4 osób potrzeba 300 ml mleka. Ile mleka potrzeba dla 6 osób?

Układasz proporcję: $\frac{4}{300} = \frac{6}{x}$ . Na krzyż: $4x = 1800$ , więc $x =$ 450 ml.

Częsty błąd

W proporcji pilnuj, żeby po obu stronach były te same wielkości w tej samej kolejności, np. $\frac{\text{kg}}{\text{zł}} = \frac{\text{kg}}{\text{zł}}$ . Nie każda zależność jest wprost proporcjonalna: gdy jedna wielkość rośnie, a druga maleje (np. prędkość i czas), proporcja „na krzyż” w tej postaci da zły wynik.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Rozwiąż proporcję $\frac{x}{6} = \frac{10}{15}$ . Podaj $x$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$15x = 6 \cdot 10 = 60$
$x = 60 : 15 = 4$

Zadanie 2

Łatwe

Rozwiąż proporcję $\frac{4}{7} = \frac{x}{21}$ . Podaj $x$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Mianownik wzrósł 3 razy ( $7 \cdot 3 = 21$ ), więc licznik też musi wzrosnąć 3 razy.
$x = 4 \cdot 3 = 12$
Na krzyż: $7x = 4 \cdot 21 = 84$ , więc $x = 12$ .

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Za 3 kg jabłek zapłacono $7{,}50$ zł. Ile trzeba zapłacić za 5 kg tych samych jabłek?

Pokaż całe rozwiązanie

Cena 1 kg: $7{,}50 : 3 = 2{,}50$ zł.
Za 5 kg: $5 \cdot 2{,}50 = 12{,}50$ zł.
Proporcją: $\frac{3}{7{,}5} = \frac{5}{x}$ , więc $3x = 37{,}5$ i $x = 12{,}5$ .

Zadanie 4

Średnie

Które wielkości są wprost proporcjonalne?

Pokaż całe rozwiązanie

Dwa razy więcej biletów kosztuje dwa razy więcej, więc kwota jest wprost proporcjonalna do liczby biletów.
Wzrost dziecka rośnie z wiekiem, ale nie tyle samo razy: 10-latek nie jest dwa razy wyższy od 5-latka.
Przy większej prędkości i większej liczbie pracowników czas maleje. To wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Zadanie 5

Średnie

Czy to prawda, że proporcja $\frac{2{,}5}{4} = \frac{5}{8}$ jest prawdziwa?

Pokaż całe rozwiązanie

$2{,}5 \cdot 8 = 20$
$4 \cdot 5 = 20$
Iloczyny są równe, więc proporcja jest prawdziwa.

Zadanie 6

Średnie

Na mapie w skali $1 : 50\,000$ odległość między dwiema miejscowościami wynosi 6 cm. Ile wynosi ta odległość w rzeczywistości?

Pokaż całe rozwiązanie

$6 \cdot 50\,000 = 300\,000$ cm
$300\,000$ cm $= 3000$ m $= 3$ km

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne. Dla $x = 4$ jest $y = 10$ . Ile wynosi $y$ dla $x = 7$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$a = \frac{10}{4} = 2{,}5$
$y = a \cdot x = 2{,}5 \cdot 7 = 17{,}5$

Zadanie 8

Trudne

Rozwiąż proporcję $\frac{x + 2}{5} = \frac{x - 1}{2}$ . Podaj $x$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$2(x + 2) = 5(x - 1)$
$2x + 4 = 5x - 5$
$9 = 3x$ , więc $x = 3$ .
Sprawdzenie: $\frac{3 + 2}{5} = 1$ i $\frac{3 - 1}{2} = 1$ .

Najczęstsze pytania

Jak rozpoznać, że wielkości są wprost proporcjonalne?

Podziel drugą wielkość przez pierwszą dla kilku par wartości. Jeśli iloraz $\frac{y}{x}$ jest zawsze ten sam, wielkości są wprost proporcjonalne i możesz zapisać $y = a \cdot x$ . Wykres takiej zależności to półprosta lub prosta przechodząca przez punkt $(0, 0)$ .

Czym różni się proporcjonalność prosta od odwrotnej?

Przy proporcjonalności prostej, gdy jedna wielkość rośnie 2 razy, druga też rośnie 2 razy (stały jest iloraz). Przy proporcjonalności odwrotnej, gdy jedna rośnie 2 razy, druga maleje 2 razy (stały jest iloczyn), np. prędkość i czas przejazdu tej samej trasy.

← Wszystko z działu „Proporcjonalność prosta” i lista na sprawdzian