Przejdź do treści
pomoc z matmy

Klasa 7 · Równania

Równania z jedną niewiadomą i zadania tekstowe

8 zadań do rozwiązania ↓

Równanie to dwa wyrażenia połączone znakiem ==, w których jest niewiadoma, np. 3x−7=113x - 7 = 11. Rozwiązać równanie to znaleźć liczbę, która podstawiona za xx daje prawdziwą równość. Robisz to, wykonując te same działania po obu stronach, aż xx zostanie sam.

Zasady przekształcania równań

Możesz po obu stronach równania:

  • dodać lub odjąć tę samą liczbę (albo to samo wyrażenie),
  • pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.

Dla równania postaci ax+b=cax + b = c, gdzie a≠0a \neq 0:

x=c−bax = \frac{c - b}{a}

Jak rozwiązać zadanie tekstowe

  1. Oznacz niewiadomą literą i zapisz, co oznacza.
  2. Zapisz pozostałe wielkości za pomocą tej litery.
  3. Ułóż równanie z informacji w treści.
  4. Rozwiąż równanie.
  5. Sprawdź wynik z treścią zadania i zapisz odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiąż równanie 7−2x=x+17 - 2x = x + 1.

Dodajesz 2x2x do obu stron: 7=3x+17 = 3x + 1. Odejmujesz 1: 6=3x6 = 3x. Dzielisz przez 3: x=2x = 2. Sprawdzenie: 7−4=37 - 4 = 3 i 2+1=32 + 1 = 3.

Przykład 2: zadanie tekstowe

Bilet dla dorosłego jest o 8 zł droższy niż bilet dla dziecka. Za bilet dla jednego dorosłego i dwójki dzieci rodzina zapłaciła 56 zł. Ile kosztuje bilet dla dziecka?

Bilet dziecka: dd, bilet dorosłego: d+8d + 8. Równanie: (d+8)+2d=56(d + 8) + 2d = 56, czyli 3d+8=563d + 8 = 56. Stąd 3d=483d = 48 i d=16d = 16. Bilet dla dziecka kosztuje 16 zł, a dla dorosłego 24 zł. Sprawdzenie: 24+2⋅16=5624 + 2 \cdot 16 = 56.

Częsty błąd

Przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę zmieniasz jego znak: z x+5=12x + 5 = 12 wychodzi x=12−5x = 12 - 5, a nie x=12+5x = 12 + 5. Pamiętaj też, żeby liczbę przed nawiasem pomnożyć przez każdy wyraz w nawiasie: 2(x−3)=2x−62(x - 3) = 2x - 6, a nie 2x−32x - 3.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Rozwiąż równanie 3x−7=113x - 7 = 11. Podaj xx.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. 3x−7=11∣+73x - 7 = 11 \quad | +7
  2. 3x=18∣:33x = 18 \quad | :3
  3. x=6x = 6
  4. Sprawdzenie: 3⋅6−7=113 \cdot 6 - 7 = 11.

Zadanie 2

Łatwe

Rozwiąż równanie x4+2=5\frac{x}{4} + 2 = 5. Podaj xx.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. x4+2=5∣−2\frac{x}{4} + 2 = 5 \quad | -2
  2. x4=3∣⋅4\frac{x}{4} = 3 \quad | \cdot 4
  3. x=12x = 12

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Rozwiąż równanie 5x−3=2x+95x - 3 = 2x + 9. Podaj xx.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. 5x−3=2x+9∣−2x5x - 3 = 2x + 9 \quad | -2x
  2. 3x−3=9∣+33x - 3 = 9 \quad | +3
  3. 3x=12∣:33x = 12 \quad | :3
  4. x=4x = 4
  5. Sprawdzenie: 5⋅4−3=175 \cdot 4 - 3 = 17 i 2⋅4+9=172 \cdot 4 + 9 = 17.

Zadanie 4

Średnie

Które rozwiązanie ma równanie 2(x−3)=3x+12(x - 3) = 3x + 1?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. 2x−6=3x+1∣−3x2x - 6 = 3x + 1 \quad | -3x
  2. −x−6=1∣+6-x - 6 = 1 \quad | +6
  3. −x=7-x = 7, więc x=−7x = -7.
  4. Sprawdzenie: 2⋅(−7−3)=−202 \cdot (-7 - 3) = -20 i 3⋅(−7)+1=−203 \cdot (-7) + 1 = -20.
  5. Wynik x=−4x = -4 dostaniesz, gdy pomnożysz przez 2 tylko xx (czyli zapiszesz 2x−32x - 3).

Zadanie 5

Średnie

Czy to prawda, że liczba 2 jest rozwiązaniem równania 4x−1=3(x+1)−24x - 1 = 3(x + 1) - 2?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Lewa strona: 4⋅2−1=74 \cdot 2 - 1 = 7.
  2. Prawa strona: 3⋅(2+1)−2=9−2=73 \cdot (2 + 1) - 2 = 9 - 2 = 7.
  3. Obie strony są równe, więc to prawda.

Zadanie 6

Średnie

Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 87. Jaka jest najmniejsza z nich?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Liczby to nn, n+1n + 1 i n+2n + 2.
  2. n+(n+1)+(n+2)=87n + (n + 1) + (n + 2) = 87, czyli 3n+3=873n + 3 = 87.
  3. 3n=843n = 84, więc n=28n = 28.
  4. Sprawdzenie: 28+29+30=8728 + 29 + 30 = 87.

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Rozwiąż równanie x+13=x−12\frac{x + 1}{3} = \frac{x - 1}{2}. Podaj xx.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Mnożysz obie strony przez 6: 2(x+1)=3(x−1)2(x + 1) = 3(x - 1).
  2. 2x+2=3x−3∣−3x−22x + 2 = 3x - 3 \quad | -3x - 2
  3. −x=−5-x = -5, więc x=5x = 5.
  4. Sprawdzenie: 5+13=2\frac{5 + 1}{3} = 2 i 5−12=2\frac{5 - 1}{2} = 2.

Zadanie 8

Trudne

Ola ma 3 razy więcej naklejek niż Kuba. Gdy Ola dała Kubie 10 naklejek, oboje mieli po tyle samo. Ile naklejek miał na początku Kuba?

naklejek
Pokaż całe rozwiązanie
  1. Na początku: Kuba kk, Ola 3k3k.
  2. Po oddaniu: Ola 3k−103k - 10, Kuba k+10k + 10.
  3. 3k−10=k+103k - 10 = k + 10, więc 2k=202k = 20 i k=10k = 10.
  4. Sprawdzenie: Ola miała 30, po oddaniu ma 20, a Kuba ma 10+10=2010 + 10 = 20.

Najczęstsze pytania

Po co sprawdzać rozwiązanie równania?

Podstawienie wyniku do równania zajmuje chwilę i od razu pokazuje błąd w rachunkach. Jeśli obie strony dają tę samą liczbę, rozwiązanie jest dobre. W zadaniu tekstowym sprawdzaj też, czy wynik pasuje do treści, np. czy liczba osób nie wyszła ujemna albo ułamkowa.

Co zrobić, gdy niewiadoma znika z równania?

Jeśli zostaje prawdziwa równość, np. 3=33 = 3, to równanie spełnia każda liczba (równanie tożsamościowe). Jeśli zostaje fałsz, np. 0=50 = 5, to równanie nie ma rozwiązań (równanie sprzeczne).

← Wszystko z działu „Równania” i lista na sprawdzian