Przejdź do treści
pomoc z matmy

Klasa 7 · Statystyka

Średnia arytmetyczna

8 zadań do rozwiązania ↓

Średnia arytmetyczna mówi, ile przypadałoby na każdy element, gdyby wszystko rozdzielić po równo. Liczysz ją, dodając wszystkie liczby i dzieląc sumę przez to, ile ich jest. Spotkasz ją w ocenach, wynikach sportowych, temperaturach i cenach.

Średnia arytmetyczna

sˊrednia=a1+a2+…+ann\text{średnia} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}

a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n to liczby, a nn to ich liczba. Gdy znasz średnią, możesz od razu obliczyć sumę: suma=sˊrednia⋅n\text{suma} = \text{średnia} \cdot n.

Przykład 1

Oblicz średnią liczb 7, 9, 12 i 4.

Suma: 7+9+12+4=327 + 9 + 12 + 4 = 32. Liczb jest 4, więc średnia to 32:4=32 : 4 = 8.

Przykład 2: dane z tabeli

Tabela pokazuje oceny z kartkówki w grupie uczniów.

Ocena 2 3 4 5
Liczba uczniów 1 4 3 2

Każdą ocenę mnożysz przez liczbę uczniów: 2⋅1+3⋅4+4⋅3+5⋅2=2+12+12+10=362 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 2 + 12 + 12 + 10 = 36. Uczniów jest 1+4+3+2=101 + 4 + 3 + 2 = 10. Średnia: 36:10=36 : 10 = 3,63{,}6.

Częsty błąd

Dzielisz przez liczbę wszystkich danych, także tych równych 0. W przykładzie z tabeli dzielisz przez liczbę uczniów (10), a nie przez liczbę różnych ocen (4). Nie licz też średniej z dwóch średnich, gdy grupy mają różną liczebność.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Kasia dostała z matematyki oceny 4, 5, 3, 5 i 3. Oblicz średnią arytmetyczną jej ocen.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma: 4+5+3+5+3=204 + 5 + 3 + 5 + 3 = 20.
  2. Ocen jest 5, więc średnia to 20:5=420 : 5 = 4.

Zadanie 2

Łatwe

O 6:00 rano w czterech kolejnych dniach termometr pokazał −3-3, 11, 44 i −2-2 stopnie Celsjusza. Oblicz średnią z tych temperatur.

°C
Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma: −3+1+4+(−2)=0-3 + 1 + 4 + (-2) = 0.
  2. Średnia: 0:4=00 : 4 = 0.

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Średnia arytmetyczna trzech liczb wynosi 12. Dwie z nich to 10 i 15. Jaka jest trzecia liczba?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma trzech liczb: 3⋅12=363 \cdot 12 = 36.
  2. Trzecia liczba: 36−10−15=1136 - 10 - 15 = 11.

Zadanie 4

Średnie

Średnia ocen Tomka z czterech sprawdzianów wynosi 4. Jaką ocenę musi dostać z piątego sprawdzianu, żeby średnia z pięciu ocen wyniosła 4,24{,}2?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma czterech ocen: 4⋅4=164 \cdot 4 = 16.
  2. Potrzebna suma pięciu ocen: 5⋅4,2=215 \cdot 4{,}2 = 21.
  3. Piąta ocena: 21−16=521 - 16 = 5.
  4. Odpowiedź 4,44{,}4 powstaje, gdy uznasz, że ocena musi być o tyle wyższa od 4,24{,}2, o ile 4,24{,}2 jest wyższe od 4.

Zadanie 5

Średnie

Czy to prawda, że średnia arytmetyczna liczb 2, 4, 6 i 100 jest większa od 25?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma: 2+4+6+100=1122 + 4 + 6 + 100 = 112.
  2. Średnia: 112:4=28112 : 4 = 28.
  3. 28>2528 > 25, więc to prawda, choć trzy z czterech liczb są mniejsze niż 7.

Zadanie 6

Średnie

Michał zapisywał, ile kilometrów przejechał rowerem: poniedziałek 12 km, wtorek 8 km, środa 15 km, czwartek 0 km (padał deszcz), piątek 10 km. Ile kilometrów przejeżdżał średnio dziennie od poniedziałku do piątku?

km
Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma: 12+8+15+0+10=4512 + 8 + 15 + 0 + 10 = 45 km.
  2. Dni jest 5, więc średnia to 45:5=945 : 5 = 9 km.
  3. Gdybyś pominął czwartek, dostałbyś błędny wynik 45:4=11,2545 : 4 = 11{,}25 km.

Trudne

Zadanie 7

Trudne

W klasie jest 12 dziewczynek i 18 chłopców. Średni wzrost dziewczynek wynosi 150 cm, a chłopców 155 cm. Jaki jest średni wzrost wszystkich uczniów tej klasy?

cm
Pokaż całe rozwiązanie
  1. Łączny wzrost dziewczynek: 12⋅150=180012 \cdot 150 = 1800 cm.
  2. Łączny wzrost chłopców: 18⋅155=279018 \cdot 155 = 2790 cm.
  3. Średnia: (1800+2790):30=4590:30=153(1800 + 2790) : 30 = 4590 : 30 = 153 cm.
  4. Średnia z dwóch średnich (152,5152{,}5 cm) jest błędna, bo chłopców jest więcej.

Zadanie 8

Trudne

Średnia arytmetyczna pięciu liczb wynosi 8. Po dopisaniu szóstej liczby średnia wzrosła do 9. Jaką liczbę dopisano?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma pięciu liczb: 5⋅8=405 \cdot 8 = 40.
  2. Suma sześciu liczb: 6⋅9=546 \cdot 9 = 54.
  3. Dopisana liczba: 54−40=1454 - 40 = 14.

Najczęstsze pytania

Czy średnia musi być jedną z liczb, z których ją liczysz?

Nie. Średnia ocen 4 i 5 to 4,54{,}5, choć takiej oceny nie ma. Średnia zawsze leży między najmniejszą a największą liczbą (albo jest im równa, gdy wszystkie liczby są takie same).

Dlaczego jedna bardzo duża lub bardzo mała liczba tak mocno zmienia średnią?

Średnia bierze pod uwagę sumę wszystkich liczb, więc jedna nietypowa wartość zmienia sumę o dużo. Na przykład średnia z 2, 4, 6 i 100 wynosi 28, choć trzy liczby są mniejsze od 7. Dlatego przy danych z jedną nietypową wartością średnia może wprowadzać w błąd.

← Wszystko z działu „Statystyka” i lista na sprawdzian