Klasa 7 · Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa – obliczanie boków trójkąta prostokątnego

Twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko trójkątów prostokątnych. Boki przy kącie prostym to przyprostokątne ( $a$ i $b$ ), a najdłuższy bok, naprzeciwko kąta prostego, to przeciwprostokątna ( $c$ ). Jeśli znasz dwa boki, obliczysz trzeci.

Twierdzenie Pitagorasa

a^2 + b^2 = c^2

Szukasz przeciwprostokątnej: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Szukasz przyprostokątnej: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$ .

Trójki pitagorejskie, które warto znać

$a$	$b$	$c$	Sprawdzenie
3	4	5	$9 + 16 = 25$
6	8	10	$36 + 64 = 100$
5	12	13	$25 + 144 = 169$
8	15	17	$64 + 225 = 289$

Przykład 1: szukamy przeciwprostokątnej

Przyprostokątne mają 9 cm i 12 cm.

$c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ , więc $c = \sqrt{225} =$ 15 cm.

Przykład 2: szukamy przyprostokątnej

Przeciwprostokątna ma 3, a jedna przyprostokątna ma 1.

$b^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$ , więc $b = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} =$ $2\sqrt{2}$ .

Częsty błąd

Nie dodawaj samych boków: przy przyprostokątnych 3 i 4 przeciwprostokątna to nie $3 + 4 = 7$ , tylko $\sqrt{9 + 16} = 5$ . Gdy szukasz przyprostokątnej, kwadraty odejmujesz, a nie dodajesz.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Pokaż całe rozwiązanie

$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$c = \sqrt{100} = 10$

Zadanie 2

Łatwe

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 5 i 12. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Pokaż całe rozwiązanie

$c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$c = \sqrt{169} = 13$

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 17, a jedna z przyprostokątnych ma długość 8. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.

Pokaż całe rozwiązanie

$8^2 + b^2 = 17^2$
$b^2 = 289 - 64 = 225$
$b = \sqrt{225} = 15$

Zadanie 4

Średnie

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 1 i 2. Jaką długość ma przeciwprostokątna?

Pokaż całe rozwiązanie

$c^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
$c = \sqrt{5}$
Wynik 5 to $c^2$ , a nie $c$ . Nie zapomnij o pierwiastku.

Zadanie 5

Średnie

Czy to prawda, że w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 4 i 5 przeciwprostokątna ma długość 6?

Pokaż całe rozwiązanie

$c^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
$6^2 = 36 \neq 41$ , więc przeciwprostokątna nie ma długości 6, tylko $\sqrt{41} \approx 6{,}4$ . To fałsz.

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 6, a jedna z przyprostokątnych ma długość 4. Jaką długość ma druga przyprostokątna?

Pokaż całe rozwiązanie

$b^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20$
$b = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
Odpowiedź $2\sqrt{13} = \sqrt{52}$ wychodzi, gdy zamiast odjąć, dodasz kwadraty.

Zadanie 7

Trudne

Drabina o długości 2,5 m jest oparta o pionową ścianę. Dolny koniec drabiny stoi 0,7 m od ściany. Na jakiej wysokości drabina dotyka ściany?

Pokaż całe rozwiązanie

Drabina, ściana i podłoga tworzą trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna to drabina: $2{,}5$ m.
$h^2 = 2{,}5^2 - 0{,}7^2 = 6{,}25 - 0{,}49 = 5{,}76$
$h = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4$ , bo $2{,}4 \cdot 2{,}4 = 5{,}76$ .
Drabina dotyka ściany na wysokości 2,4 m.

Zadanie 8

Trudne

Prostokątna działka ma wymiary 9 m na 40 m. Jaką długość ma ścieżka biegnąca prosto wzdłuż przekątnej działki?

Pokaż całe rozwiązanie

$d^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$
$d = \sqrt{1681} = 41$ , bo $41 \cdot 41 = 1681$ .
Ścieżka ma 41 m.

Najczęstsze pytania

Która strona trójkąta to przeciwprostokątna?

To bok leżący naprzeciwko kąta prostego. Jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego. Dwa pozostałe boki, tworzące kąt prosty, to przyprostokątne.

Co to są trójki pitagorejskie?

To trzy liczby naturalne, które spełniają wzór $a^2 + b^2 = c^2$ , np. 3, 4, 5 albo 5, 12, 13. Ich wielokrotności też działają, np. 6, 8, 10. Warto je znać, bo często pojawiają się w zadaniach.

← Wszystko z działu „Twierdzenie Pitagorasa” i lista na sprawdzian