Klasa 7 · Wyrażenia algebraiczne

Mnożenie sum algebraicznych

Q: Jak sprawdzić, czy dobrze wymnożyłem nawiasy?

Podstaw dowolną liczbę, np. $x = 2$, do wyrażenia przed wymnożeniem i po nim. Jeśli wyniki się różnią, gdzieś jest błąd. Na przykład $(x + 3)(x - 2)$ dla $x = 2$ daje $0$ i $x^2 + x - 6$ też daje $4 + 2 - 6 = 0$.

8 zadań do rozwiązania ↓

Suma algebraiczna to kilka jednomianów połączonych plusami lub minusami, np. $2x - 5$ albo $a^2 + 3a - 1$ . Gdy mnożysz sumę przez liczbę, jednomian albo inną sumę, każdy wyraz jednego czynnika mnożysz przez każdy wyraz drugiego. Na końcu redukujesz wyrazy podobne.

Mnożenie sum algebraicznych

a(b + c) = ab + ac

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Zasada „każdy z każdym”: każdy wyraz z pierwszego nawiasu mnożysz przez każdy wyraz z drugiego nawiasu.

Przykład 1: jednomian razy suma

Wymnóż $4x(x - 3)$ .

$4x \cdot x = 4x^2$ oraz $4x \cdot (-3) = -12x$ . Wynik: $4x^2 - 12x$ .

Przykład 2: suma razy suma

Wymnóż $(2a + 1)(a - 4)$ .

$2a \cdot a = 2a^2$ , $2a \cdot (-4) = -8a$ , $1 \cdot a = a$ , $1 \cdot (-4) = -4$ . Razem $2a^2 - 8a + a - 4$ . Po redukcji: $2a^2 - 7a - 4$ .

Częsty błąd

Nie mnóż tylko pierwszych i ostatnich wyrazów: $(x + 3)(x - 2) \neq x^2 - 6$ , bo gubisz $-2x$ i $3x$ . Uważaj też na minus przed nawiasem: $-(x^2 - x) = -x^2 + x$ , czyli zmieniasz znak każdego wyrazu.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Który zapis jest równy $3(2x - 5)$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$3 \cdot 2x = 6x$
$3 \cdot (-5) = -15$
Razem: $6x - 15$ . Wynik $6x - 5$ powstaje, gdy pomnożysz tylko pierwszy wyraz.

Zadanie 2

Łatwe

Który zapis jest równy $-2a(a - 4)$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$-2a \cdot a = -2a^2$
$-2a \cdot (-4) = 8a$
Razem: $-2a^2 + 8a$ .

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Który zapis jest równy $(x + 3)(x - 2)$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$(x + 3)(x - 2) = x \cdot x + x \cdot (-2) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-2)$
$= x^2 - 2x + 3x - 6$
Redukujesz wyrazy podobne: $-2x + 3x = x$ , więc wynik to $x^2 + x - 6$ .
Wynik $x^2 - 6$ powstaje, gdy pomnożysz tylko pierwsze i ostatnie wyrazy.

Zadanie 4

Średnie

Oblicz wartość wyrażenia $(2x - 1)(x + 4)$ dla $x = 3$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Pierwszy nawias: $2 \cdot 3 - 1 = 5$ .
Drugi nawias: $3 + 4 = 7$ .
$5 \cdot 7 = 35$
Sprawdzenie po wymnożeniu: $(2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 7x - 4$ , a $2 \cdot 9 + 7 \cdot 3 - 4 = 35$ .

Zadanie 5

Średnie

Czy to prawda, że $(a + b)(a + b) = a^2 + b^2$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Brakuje wyrazu $2ab$ , więc to fałsz.
Sprawdzenie dla $a = 1$ , $b = 2$ : $(1 + 2)(1 + 2) = 9$ , a $1^2 + 2^2 = 5$ .

Zadanie 6

Średnie

Wymnóż i uprość wyrażenie $(3x + 2)(2x - 5)$ . Jaka liczba stoi przy $x$ (w pierwszej potędze)?

Pokaż całe rozwiązanie

$(3x + 2)(2x - 5) = 6x^2 - 15x + 4x - 10$
$-15x + 4x = -11x$
Wynik: $6x^2 - 11x - 10$ , więc przy $x$ stoi $-11$ .

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Uprość wyrażenie $(x + 2)(x - 3) - x(x - 1)$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$
$x(x - 1) = x^2 - x$
$x^2 - x - 6 - (x^2 - x) = x^2 - x - 6 - x^2 + x = -6$
Wynik $-2x - 6$ powstaje, gdy minus zmieni znak tylko przy $x^2$ .

Zadanie 8

Trudne

Ogród w kształcie prostokąta ma wymiary $x$ m na $(x + 3)$ m. Każdy z tych wymiarów zwiększono o 2 m. O ile metrów kwadratowych wzrosło pole ogrodu, jeśli $x = 10$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

Stare pole: $x(x + 3) = x^2 + 3x$ .
Nowe pole: $(x + 2)(x + 5) = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10$ .
Wzrost: $x^2 + 7x + 10 - (x^2 + 3x) = 4x + 10$ .
Dla $x = 10$ : $4 \cdot 10 + 10 = 50$ m². Sprawdzenie: $12 \cdot 15 - 10 \cdot 13 = 180 - 130 = 50$ .

Najczęstsze pytania

Jak sprawdzić, czy dobrze wymnożyłem nawiasy?

Podstaw dowolną liczbę, np. $x = 2$ , do wyrażenia przed wymnożeniem i po nim. Jeśli wyniki się różnią, gdzieś jest błąd. Na przykład $(x + 3)(x - 2)$ dla $x = 2$ daje $0$ i $x^2 + x - 6$ też daje $4 + 2 - 6 = 0$ .

Ile wyrazów powstaje po pomnożeniu dwóch sum?

Przed redukcją tyle, ile wynosi iloczyn liczby wyrazów w nawiasach. Dwa nawiasy po dwa wyrazy dają $2 \cdot 2 = 4$ iloczyny, a nawias z dwoma wyrazami razy nawias z trzema daje 6 iloczynów. Potem redukujesz wyrazy podobne.

← Wszystko z działu „Wyrażenia algebraiczne” i lista na sprawdzian