Klasa 8 · Własności figur płaskich

Kąty w trójkątach i czworokątach

Q: Ile wynosi suma kątów w czworokącie?

Zawsze $360^\circ$. Przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a każdy z nich ma kąty o sumie $180^\circ$.

Prawie każde zadanie o kątach w figurach rozwiążesz kilkoma faktami. Najważniejszy z nich: w każdym trójkącie kąty dają razem $180^\circ$ , a w każdym czworokącie $360^\circ$ .

Kąty w figurach

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \qquad \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ

Figura	Co wiesz o kątach
trójkąt równoramienny	kąty przy podstawie są równe
trójkąt równoboczny	każdy kąt ma $60^\circ$
równoległobok, romb	kąty przeciwległe są równe, a kąty przy jednym boku dają $180^\circ$
trapez	kąty przy jednym ramieniu dają $180^\circ$

Przeciągaj wierzchołki trójkąta i sprawdź, kiedy jest ostrokątny, prostokątny albo rozwartokątny.

Sprawdź samPrzeciągnij wierzchołki trójkąta

trójkąt ostrokątnytrójkąt różnoboczny

59° + 40° + 81° = 180°. Suma kątów w każdym trójkącie to 180°, niezależnie od kształtu.

Przykład 1: trzeci kąt trójkąta

Trójkąt ma kąty $47^\circ$ i $68^\circ$ . Trzeci kąt: $180^\circ - 47^\circ - 68^\circ =$ $65^\circ$ .

Przykład 2: trójkąt równoramienny

Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego ma $40^\circ$ . Na dwa równe kąty przy podstawie zostaje $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ , więc każdy z nich ma $70^\circ$ .

Częsty błąd

W trójkącie równoramiennym sprawdź, który kąt jest dany. Jeśli $50^\circ$ to kąt przy podstawie, drugi kąt przy podstawie też ma $50^\circ$ , a kąt między ramionami $80^\circ$ . Jeśli $50^\circ$ to kąt między ramionami, kąty przy podstawie mają po $65^\circ$ .

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Dwa kąty trójkąta mają miary $35^\circ$ i $85^\circ$ . Oblicz miarę trzeciego kąta.

Pokaż całe rozwiązanie

$35^\circ + 85^\circ = 120^\circ$
$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Zadanie 2

Łatwe

Czy to prawda, że trójkąt może mieć dwa kąty rozwarte?

Pokaż całe rozwiązanie

Dwa kąty rozwarte mają razem więcej niż $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ .
Suma wszystkich kątów trójkąta to dokładnie $180^\circ$ , więc na trzeci kąt nic by nie zostało. To fałsz.

Średnie

Zadanie 3

Średnie

W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma $50^\circ$ . Jaką miarę ma kąt między ramionami?

Pokaż całe rozwiązanie

Oba kąty przy podstawie mają po $50^\circ$ , razem $100^\circ$ .
$180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$
Wynik $65^\circ$ wychodzi, gdy pomylisz kąt przy podstawie z kątem między ramionami i policzysz $(180^\circ - 50^\circ) : 2$ .

Zadanie 4

Średnie

Jeden z kątów równoległoboku ma $72^\circ$ . Oblicz miarę kąta rozwartego tego równoległoboku.

Pokaż całe rozwiązanie

Kąt sąsiedni do kąta $72^\circ$ ma $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .
Kąty przeciwległe są równe, więc równoległobok ma dwa kąty po $72^\circ$ i dwa po $108^\circ$ . Kąt rozwarty to $108^\circ$ .

Zadanie 5

Średnie

Działka ma kształt czworokąta. Trzy jej kąty mają miary $90^\circ$ , $110^\circ$ i $75^\circ$ . Oblicz miarę czwartego kąta.

Pokaż całe rozwiązanie

$90^\circ + 110^\circ + 75^\circ = 275^\circ$
$360^\circ - 275^\circ = 85^\circ$

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Miary kątów trójkąta są w stosunku $2 : 3 : 4$ . Jaką miarę ma największy kąt?

Pokaż całe rozwiązanie

$2x + 3x + 4x = 180^\circ$ , czyli $9x = 180^\circ$ .
$x = 20^\circ$
Kąty mają $40^\circ$ , $60^\circ$ i $80^\circ$ . Największy to $80^\circ$ .

Zadanie 7

Trudne

W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ ma $55^\circ$ . Kąt zewnętrzny przy wierzchołku $C$ (przyległy do kąta wewnętrznego $C$ ) ma $130^\circ$ . Oblicz miarę kąta przy wierzchołku $B$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Kąt wewnętrzny przy $C$ : $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ .
Kąt przy $B$ : $180^\circ - 55^\circ - 50^\circ = 75^\circ$ .
Szybciej: kąt zewnętrzny jest sumą dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych, więc $130^\circ - 55^\circ = 75^\circ$ .

Zadanie 8

Trudne

W trapezie równoramiennym kąt rozwarty jest o $40^\circ$ większy od kąta ostrego. Oblicz miarę kąta rozwartego.

Pokaż całe rozwiązanie

Kąt ostry to $x$ , kąt rozwarty to $x + 40^\circ$ .
$x + x + 40^\circ = 180^\circ$ , więc $2x = 140^\circ$ i $x = 70^\circ$ .
Kąt rozwarty: $70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$ .

Najczęstsze pytania

Ile wynosi suma kątów w czworokącie?

Zawsze $360^\circ$ . Przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a każdy z nich ma kąty o sumie $180^\circ$ .

Które kąty w trójkącie równoramiennym są równe?

Kąty przy podstawie, czyli te, które leżą naprzeciw równych ramion. Kąt między ramionami może być inny.

← Wszystko z działu „Własności figur płaskich” i lista na sprawdzian