Klasa 8 · Koło i okrąg

Długość okręgu i pole koła

Q: Ile wynosi liczba π?

Około $3{,}14$. To stosunek długości okręgu do jego średnicy, taki sam dla każdego okręgu. Jeśli zadanie nie mówi, jakie przybliżenie przyjąć, zostaw wynik z $\pi$, np. $16\pi$.

8 zadań do rozwiązania ↓

Liczba $\pi$ (czytaj: „pi”) jest bohaterem wszystkich zadań o kołach. To około $3{,}14$ . Dzięki niej obliczysz długość okręgu i pole koła, gdy znasz tylko promień $r$ , czyli odległość od środka do brzegu.

Okrąg i koło o promieniu r

L = 2\pi r \qquad P = \pi r^2

Średnica to dwa promienie: $d = 2r$ , więc długość okręgu możesz też liczyć jako $L = \pi d$ .

Zmieniaj promień koła i obserwuj długość okręgu oraz pole. Gdy promień rośnie dwa razy, pole rośnie cztery razy.

Sprawdź samKoło: zmieniaj wymiary

r = 4 cm

Długość okręgu

2 · π · 4 = 8π

≈ 25,12 cm

Pole

π · 4² = 16π

≈ 50,24 cm²

Przyjęliśmy π ≈ 3,14.

Promień to odległość od środka do brzegu, a średnica to dwa promienie.

Przykład 1: promień 5

Okrąg o promieniu 5 cm ma długość $L = 2\pi \cdot 5 =$ $10\pi$ cm, a koło o tym promieniu ma pole $P = \pi \cdot 5^2 =$ $25\pi$ cm².

Przykład 2: przybliżenie π

Okrągły stół ma średnicę 1 m. Ile ma obwodu? Przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ .

$L = \pi d \approx 3{,}14 \cdot 1 =$ 3,14 m.

Częsty błąd

Sprawdź, czy zadanie podaje promień, czy średnicę. Dla koła o średnicy 10 promień ma 5, więc pole to $25\pi$ , a nie $100\pi$ . I pamiętaj: w $\pi r^2$ do kwadratu podnosisz tylko $r$ .

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Jaką długość ma okrąg o promieniu 3?

Pokaż całe rozwiązanie

$L = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$
Wynik $9\pi$ to pole koła o promieniu 3, a nie długość okręgu.

Zadanie 2

Łatwe

Jakie pole ma koło o promieniu 4?

Pokaż całe rozwiązanie

$P = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$
Wynik $8\pi$ wychodzi, gdy pomnożysz promień przez 2 zamiast podnieść go do kwadratu.

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Jakie pole ma koło o średnicy 10?

Pokaż całe rozwiązanie

Promień to połowa średnicy: $r = 10 : 2 = 5$ .
$P = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$
Wynik $100\pi$ wychodzi, gdy do wzoru wstawisz średnicę zamiast promienia.

Zadanie 4

Średnie

Okrąg ma długość $12\pi$ cm. Ile centymetrów ma jego promień?

Pokaż całe rozwiązanie

$2\pi r = 12\pi$
$r = \frac{12\pi}{2\pi} = 6$ cm

Zadanie 5

Średnie

Czy to prawda, że gdy promień koła zwiększysz 2 razy, to jego pole też zwiększy się 2 razy?

Pokaż całe rozwiązanie

Koło o promieniu 1 ma pole $\pi$ , a koło o promieniu 2 ma pole $4\pi$ .
Pole wzrosło 4 razy, bo promień jest podnoszony do kwadratu. To fałsz. Długość okręgu rośnie natomiast 2 razy.

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Koło roweru ma średnicę 70 cm. Ile centymetrów przejedzie rower, gdy koło wykona jeden pełny obrót? Przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Długość okręgu: $L = 2\pi r = \pi d$ , gdzie $d = 70$ cm.
$L \approx 3{,}14 \cdot 70 = 219{,}8$ cm

Zadanie 7

Trudne

Koło ma pole $49\pi$ cm². Długość okręgu, który je ogranicza, zapisz w postaci $a\pi$ cm. Podaj $a$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$\pi r^2 = 49\pi$ , więc $r^2 = 49$ i $r = 7$ cm.
$L = 2\pi \cdot 7 = 14\pi$ cm
$a = 14$

Zadanie 8

Trudne

Z kwadratowej kartki o boku 10 cm wycięto największe możliwe koło. Jego brzeg dotyka wszystkich czterech boków kwadratu. Jakie pole ma to, co zostało z kartki?

Pokaż całe rozwiązanie

Średnica koła to 10 cm, więc promień to 5 cm.
Pole koła: $\pi \cdot 5^2 = 25\pi$ cm². Pole kwadratu: $10^2 = 100$ cm².
Zostało $100 - 25\pi$ cm², czyli około $21{,}5$ cm². Odpowiedź $25\pi$ to pole wyciętego koła, a nie reszty.

Najczęstsze pytania

Czym różni się koło od okręgu?

Okrąg to sama linia, jak obręcz. Koło to okrąg razem z wnętrzem, jak tarcza. Dlatego okrąg ma długość, a koło ma pole.

Ile wynosi liczba π?

Około $3{,}14$ . To stosunek długości okręgu do jego średnicy, taki sam dla każdego okręgu. Jeśli zadanie nie mówi, jakie przybliżenie przyjąć, zostaw wynik z $\pi$ , np. $16\pi$ .

← Wszystko z działu „Koło i okrąg” i lista na sprawdzian