Klasa 8 · Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo – rzut kostką i losowanie

Prawdopodobieństwo mówi, jak duża jest szansa, że coś się zdarzy. Gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe (jak przy uczciwej kostce albo losowaniu z woreczka), liczysz je bardzo prosto.

Wzór

P(A) = \frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}

Wynik zawsze leży między 0 a 1. Ułamek skróć, jeśli się da.

Rzut jedną kostką

Zdarzenie	Wyniki sprzyjające	Prawdopodobieństwo
wypadnie 6	6	$\frac{1}{6}$
liczba nieparzysta	1, 3, 5	$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
co najmniej 5	5, 6	$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
mniej niż 7	1, 2, 3, 4, 5, 6	$1$

Przykład 1: losowanie z woreczka

W woreczku są 4 kule zielone i 8 żółtych. Jaka jest szansa wylosowania kuli zielonej?

Wszystkich kul jest 12, zielonych 4. $P = \frac{4}{12} =$ $\frac{1}{3}$ .

Przykład 2: dwie kostki

Rzucasz dwiema kostkami. Jaka jest szansa, że na obu wypadnie to samo?

Wszystkich wyników jest $6 \cdot 6 = 36$ . Pary z tą samą liczbą: $(1, 1), (2, 2), \ldots, (6, 6)$ , czyli 6. $P = \frac{6}{36} =$ $\frac{1}{6}$ .

Częsty błąd

Przy dwóch rzutach kolejność ma znaczenie. Wynik „orzeł, reszka” i wynik „reszka, orzeł” to dwa różne wyniki, więc przy dwóch rzutach monetą są 4 wyniki, a nie 3.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Rzucasz jeden raz zwykłą sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną 4 oczka? Podaj ułamek nieskracalny.

Pokaż całe rozwiązanie

Wszystkich wyników jest 6: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Sprzyjający jest jeden wynik: 4.
$P = \frac{1}{6}$

Zadanie 2

Łatwe

Rzucasz jeden raz kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie parzysta liczba oczek? Podaj ułamek nieskracalny.

Pokaż całe rozwiązanie

Wyniki sprzyjające: 2, 4, 6, czyli 3 wyniki.
Wszystkich wyników jest 6.
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Rzucasz jeden raz kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie więcej niż 4 oczka? Podaj ułamek nieskracalny.

Pokaż całe rozwiązanie

Więcej niż 4 oczka to 5 albo 6, czyli 2 wyniki.
$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Zadanie 4

Średnie

Rzucasz jeden raz kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba pierwsza?

Pokaż całe rozwiązanie

Liczby pierwsze od 1 do 6 to 2, 3 i 5. Liczba 1 nie jest pierwsza, a 2 jest.
Są 3 wyniki sprzyjające na 6 wszystkich.
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Zadanie 5

Średnie

W woreczku są 3 kule czerwone, 5 niebieskich i 2 zielone. Losujesz jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie będzie czerwona? Podaj ułamek nieskracalny.

Pokaż całe rozwiązanie

Wszystkich kul jest $3 + 5 + 2 = 10$ .
Kul innych niż czerwone jest $5 + 2 = 7$ .
$P = \frac{7}{10}$

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Rzucasz dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 8? Podaj ułamek nieskracalny.

Pokaż całe rozwiązanie

Wszystkich wyników jest $6 \cdot 6 = 36$ .
Suma 8: $(2, 6)$ , $(3, 5)$ , $(4, 4)$ , $(5, 3)$ , $(6, 2)$ , czyli 5 wyników.
$P = \frac{5}{36}$ . Tego ułamka nie da się skrócić.

Zadanie 7

Trudne

Rzucasz dwa razy monetą. Czy to prawda, że prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie jednego orła wynosi $\frac{1}{3}$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

Wyniki (O to orzeł, R to reszka): OO, OR, RO, RR. Są 4 wyniki.
Dokładnie jeden orzeł: OR i RO, czyli 2 wyniki.
$P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , a nie $\frac{1}{3}$ . To fałsz.

Zadanie 8

Trudne

W pudełku są 4 białe kule i pewna liczba czarnych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi $\frac{1}{5}$ . Ile czarnych kul jest w pudełku?

Pokaż całe rozwiązanie

4 białe kule to $\frac{1}{5}$ wszystkich kul.
Wszystkich kul jest $4 \cdot 5 = 20$ .
Czarnych kul jest $20 - 4 = 16$ .

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć prawdopodobieństwo?

Podziel liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników. Na przykład szansa wyrzucenia szóstki na kostce to $\frac{1}{6}$ , bo sprzyja jeden wynik z sześciu.

Czy prawdopodobieństwo może być większe od 1?

Nie. Prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą od 0 do 1. Zero oznacza zdarzenie niemożliwe (np. 7 oczek na jednej kostce), a 1 oznacza zdarzenie pewne.

← Wszystko z działu „Kombinatoryka i prawdopodobieństwo” i lista na sprawdzian