Przejdź do treści
pomoc z matmy

Klasa 8 · Liczby i działania

Notacja wykładnicza

8 zadań do rozwiązania ↓

Liczby takie jak 150 000 000150\,000\,000 albo 0,000 0020{,}000\,002 łatwo pomylić, bo trzeba liczyć zera. Dlatego zapisujesz je w notacji wykładniczej: jako liczbę nie mniejszą niż 1 i mniejszą niż 10 pomnożoną przez potęgę dziesiątki.

Notacja wykładnicza

a⋅10na \cdot 10^{n}

Tu 1≤a<101 \le a < 10, a nn to liczba całkowita. Duże liczby mają dodatni wykładnik, a liczby mniejsze od 1 mają ujemny. Przy mnożeniu wykładniki dodajesz, a przy dzieleniu odejmujesz.

Przykład 1: duża i mała liczba

4 500 000=4,5⋅1064\,500\,000 = 4{,}5 \cdot 10^{6}, bo przecinek przesuwasz o 6 miejsc.

0,00072=7,2⋅10−40{,}00072 = 7{,}2 \cdot 10^{-4}, bo przecinek przesuwasz o 4 miejsca w prawo, więc wykładnik jest ujemny.

Przykład 2: mnożenie

(3⋅104)⋅(2⋅10−6)=6⋅104+(−6)=6⋅10−2(3 \cdot 10^{4}) \cdot (2 \cdot 10^{-6}) = 6 \cdot 10^{4 + (-6)} = 6 \cdot 10^{-2}, czyli 0,060{,}06.

Częsty błąd

Po mnożeniu sprawdź pierwszy czynnik. (5⋅103)⋅(6⋅102)=30⋅105(5 \cdot 10^{3}) \cdot (6 \cdot 10^{2}) = 30 \cdot 10^{5}, ale w notacji wykładniczej zapiszesz to jako 3⋅1063 \cdot 10^{6}, bo pierwszy czynnik musi być mniejszy niż 10.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Jak zapisać liczbę 3 200 0003\,200\,000 w notacji wykładniczej?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Przecinek stawiasz po pierwszej cyfrze: 3,23{,}2.
  2. Żeby z 3,23{,}2 wrócić do 3 200 0003\,200\,000, przesuwasz przecinek o 6 miejsc w prawo, więc mnożysz przez 10610^{6}.
  3. 3 200 000=3,2⋅1063\,200\,000 = 3{,}2 \cdot 10^{6}. Zapis 32⋅10532 \cdot 10^{5} ma tę samą wartość, ale to nie jest notacja wykładnicza, bo 32≥1032 \ge 10.

Zadanie 2

Łatwe

Zapisz liczbę 6⋅10−36 \cdot 10^{-3} jako ułamek dziesiętny.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. 10−3=11000=0,00110^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001
  2. 6⋅0,001=0,0066 \cdot 0{,}001 = 0{,}006

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Czy to prawda, że 0,00045=4,5⋅10−40{,}00045 = 4{,}5 \cdot 10^{-4}?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Z 0,000450{,}00045 do 4,54{,}5 przesuwasz przecinek o 4 miejsca w prawo.
  2. Żeby wrócić, przesuwasz go o 4 miejsca w lewo, czyli mnożysz przez 10−410^{-4}.
  3. 0,00045=4,5⋅10−40{,}00045 = 4{,}5 \cdot 10^{-4}. To prawda.

Zadanie 4

Średnie

Oblicz (2⋅105)⋅(3⋅104)(2 \cdot 10^{5}) \cdot (3 \cdot 10^{4}). Wynik ma postać 6⋅10n6 \cdot 10^{n}. Podaj nn.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. 2⋅3=62 \cdot 3 = 6
  2. 105⋅104=105+4=10910^{5} \cdot 10^{4} = 10^{5 + 4} = 10^{9}
  3. Wynik to 6⋅1096 \cdot 10^{9}, więc n=9n = 9.

Zadanie 5

Średnie

Kropla wody ma masę około 5⋅10−55 \cdot 10^{-5} kg. Ile kilogramów ma 1000 takich kropel?

kg
Pokaż całe rozwiązanie
  1. 5⋅10−5⋅103=5⋅10−5+3=5⋅10−25 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{3} = 5 \cdot 10^{-5 + 3} = 5 \cdot 10^{-2}
  2. 5⋅10−2=5⋅0,01=0,055 \cdot 10^{-2} = 5 \cdot 0{,}01 = 0{,}05 kg

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Oblicz 8⋅1072⋅10−3\frac{8 \cdot 10^{7}}{2 \cdot 10^{-3}}.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. 8:2=48 : 2 = 4
  2. 107:10−3=107−(−3)=101010^{7} : 10^{-3} = 10^{7 - (-3)} = 10^{10}
  3. Wynik to 4⋅10104 \cdot 10^{10}. Odpowiedź 4⋅1044 \cdot 10^{4} wychodzi, gdy zgubisz minus i odejmiesz 7−37 - 3.

Zadanie 7

Trudne

Oblicz (5⋅104)⋅(4⋅106)(5 \cdot 10^{4}) \cdot (4 \cdot 10^{6}) i zapisz wynik w notacji wykładniczej.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. 5⋅4=205 \cdot 4 = 20 oraz 104⋅106=101010^{4} \cdot 10^{6} = 10^{10}, więc iloczyn to 20⋅101020 \cdot 10^{10}.
  2. 20≥1020 \ge 10, więc to jeszcze nie jest notacja wykładnicza. 20=2⋅10120 = 2 \cdot 10^{1}.
  3. 2⋅101⋅1010=2⋅10112 \cdot 10^{1} \cdot 10^{10} = 2 \cdot 10^{11}

Zadanie 8

Trudne

Odległość Ziemi od Słońca to około 1,5⋅1081{,}5 \cdot 10^{8} km. Światło pokonuje 3⋅1053 \cdot 10^{5} km w ciągu sekundy. Ile sekund leci światło ze Słońca do Ziemi?

s
Pokaż całe rozwiązanie
  1. t=1,5⋅1083⋅105t = \frac{1{,}5 \cdot 10^{8}}{3 \cdot 10^{5}}
  2. 1,5:3=0,51{,}5 : 3 = 0{,}5 oraz 108:105=10310^{8} : 10^{5} = 10^{3}
  3. t=0,5⋅103=500t = 0{,}5 \cdot 10^{3} = 500 s, czyli nieco ponad 8 minut.

Najczęstsze pytania

Po co jest notacja wykładnicza?

Żeby krótko zapisywać bardzo duże i bardzo małe liczby, np. odległości w kosmosie albo masy cząsteczek. Zamiast liczyć zera, patrzysz na wykładnik.

Co oznacza ujemny wykładnik przy 10?

Liczba jest mniejsza od 1. Na przykład 10−2=1100=0,0110^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01, więc 3⋅10−2=0,033 \cdot 10^{-2} = 0{,}03.

← Wszystko z działu „Liczby i działania” i lista na sprawdzian