Klasa 8 · Ostrosłupy

Objętość ostrosłupa

Ostrosłup to bryła, której podstawą jest wielokąt, a ściany boczne to trójkąty schodzące się w jednym punkcie, czyli w wierzchołku ostrosłupa. Jego objętość liczysz prawie tak samo jak objętość graniastosłupa, tylko na końcu bierzesz z wyniku jedną trzecią.

Objętość ostrosłupa

V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H

$P_p$ to pole podstawy, a $H$ to wysokość ostrosłupa. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat, więc $P_p = a^2$ .

Obróć ostrosłup i zmieniaj krawędź podstawy oraz wysokość. Siatka pokazuje podstawę i cztery trójkątne ściany boczne.

Sprawdź samOstrosłup prawidłowy czworokątny: obróć i zmieniaj wymiary

a = 4 cmH = 5 cm

ściany

krawędzie

wierzchołki

Objętość

a² · H : 3 = 4² · 5 : 3

≈ 26,67 cm³

Pole powierzchni

a² + 4 · (a · h_b : 2), h_b ≈ 5,39

≈ 59,08 cm²

Przeciągnij bryłę myszką albo palcem, żeby ją obrócić. Przerywane linie to krawędzie z tyłu.

Przykład 1: dane wprost

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość 10 cm.

$P_p = 6^2 = 36$ cm², więc $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 =$ 120 cm³.

Przykład 2: wysokość z twierdzenia Pitagorasa

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm, a wysokość ściany bocznej ma 5 cm.

Wysokość ostrosłupa $H$ , połowa krawędzi podstawy (3 cm) i wysokość ściany bocznej (5 cm) tworzą trójkąt prostokątny. $H^2 = 5^2 - 3^2 = 16$ , więc $H = 4$ cm.

$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 =$ 48 cm³.

Częsty błąd

Do wzoru wstawiasz wysokość ostrosłupa, a nie wysokość ściany bocznej ani krawędź boczną. Jeśli zadanie podaje wysokość ściany, najpierw wyznacz $H$ z twierdzenia Pitagorasa. I nie zapominaj o $\frac{1}{3}$ .

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Podstawa ostrosłupa ma pole 24 cm², a wysokość ostrosłupa to 5 cm. Oblicz objętość ostrosłupa.

Pokaż całe rozwiązanie

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 5$
$\frac{1}{3} \cdot 24 = 8$ , a $8 \cdot 5 = 40$ cm³.

Zadanie 2

Łatwe

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 3 i wysokość 4. Jaka jest jego objętość?

Pokaż całe rozwiązanie

Pole podstawy: $3^2 = 9$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 4 = 12$
Wynik 36 wychodzi, gdy zapomnisz o $\frac{1}{3}$ , a wynik 4, gdy zamiast pola podstawy weźmiesz samą krawędź 3.

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Ostrosłup i graniastosłup mają taką samą podstawę i taką samą wysokość. Czy to prawda, że objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza niż objętość graniastosłupa?

Pokaż całe rozwiązanie

Graniastosłup: $V = P_p \cdot H$ . Ostrosłup: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$ .
Przy tych samych $P_p$ i $H$ ostrosłup ma objętość 3 razy mniejszą. To prawda.

Zadanie 4

Średnie

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach 4 cm i 6 cm. Objętość ostrosłupa wynosi 40 cm³. Oblicz wysokość ostrosłupa.

Pokaż całe rozwiązanie

Pole podstawy: $4 \cdot 6 = 24$ cm².
$\frac{1}{3} \cdot 24 \cdot H = 40$ , czyli $8H = 40$ .
$H = 5$ cm

Zadanie 5

Średnie

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8. Wysokość ostrosłupa to 10. Jaka jest objętość ostrosłupa?

Pokaż całe rozwiązanie

Pole podstawy: $\frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 10 = 80$
Wynik 160 wychodzi, gdy zapomnisz podzielić $6 \cdot 8$ przez 2, a 240, gdy pominiesz $\frac{1}{3}$ .

Zadanie 6

Średnie

Namiot ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 3 m i wysokości 2 m. Ile litrów powietrza mieści się w namiocie? Pamiętaj, że $1 \text{ m}^3 = 1000$ litrów.

Pokaż całe rozwiązanie

Pole podstawy: $3^2 = 9$ m².
$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 = 6$ m³
$6 \cdot 1000 = 6000$ litrów

Trudne

Zadanie 7

Trudne

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 10 cm. Wysokość ściany bocznej (poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa do środka krawędzi podstawy) ma 13 cm. Oblicz objętość ostrosłupa.

Pokaż całe rozwiązanie

Odcinek od środka kwadratu do środka jego boku ma $10 : 2 = 5$ cm.
Wysokość ściany bocznej jest przeciwprostokątną: $H^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ , więc $H = 12$ cm.
Pole podstawy: $10^2 = 100$ cm².
$V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400$ cm³

Zadanie 8

Trudne

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zwiększono 2 razy, a wysokość zostawiono bez zmian. Jak zmieniła się objętość ostrosłupa?

Pokaż całe rozwiązanie

Pole podstawy to $a^2$ . Po zmianie: $(2a)^2 = 4a^2$ , czyli 4 razy więcej.
Wysokość się nie zmienia, więc objętość też rośnie 4 razy.
Odpowiedź „8 razy” byłaby dobra, gdyby wysokość też wzrosła 2 razy.

Najczęstsze pytania

Skąd we wzorze na objętość ostrosłupa bierze się 1/3?

Graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości ma objętość równą trzem takim ostrosłupom (np. sześcian da się rozciąć na trzy jednakowe ostrosłupy). Możesz to też sprawdzić doświadczeniem: wodą z ostrosłupa napełnisz taki graniastosłup dopiero za trzecim razem.

Czym jest wysokość ostrosłupa?

To odcinek od wierzchołka ostrosłupa prostopadły do płaszczyzny podstawy. Nie myl go z krawędzią boczną ani z wysokością ściany bocznej, które są dłuższe.

← Wszystko z działu „Ostrosłupy” i lista na sprawdzian