Klasa 8 · Procenty w praktyce

Podwyżki i obniżki procentowe

Przy podwyżkach i obniżkach najszybciej liczysz mnożnikiem. Zamiast osobno liczyć procent i go dodawać lub odejmować, mnożysz cenę od razu przez jedną liczbę.

Mnożnik zmiany procentowej

Podwyżka o $p\%$ :

\text{nowa cena} = \text{stara cena} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)

Obniżka o $p\%$ :

\text{nowa cena} = \text{stara cena} \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)

Przy kilku zmianach po kolei mnożysz przez kolejne mnożniki.

Przykład 1: podwyżka

Książka kosztowała 80 zł i podrożała o $15\%$ . Mnożnik to $1{,}15$ .

$80 \cdot 1{,}15 =$ 92 zł.

Przykład 2: dwie obniżki

Kurtkę za 200 zł przeceniono o $20\%$ , a potem jeszcze o $10\%$ .

$200 \cdot 0{,}8 = 160$ zł, potem $160 \cdot 0{,}9 =$ 144 zł. To nie to samo co jedna obniżka o $30\%$ , która dałaby 140 zł.

Częsty błąd

Procent zawsze liczysz od wartości, do której się odnosi. Gdy cena po obniżce o $20\%$ wynosi 240 zł, to 240 zł jest $80\%$ starej ceny. Dodanie $20\%$ z 240 zł daje 288 zł, a to zły wynik.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Bluza kosztowała 120 zł. Jej cenę obniżono o 25%. Ile kosztuje teraz?

Pokaż całe rozwiązanie

Po obniżce zostaje $75\%$ ceny, czyli $0{,}75$ ceny.
$120 \cdot 0{,}75 = 90$ zł

Zadanie 2

Łatwe

Cena wzrosła o 8%. Przez jaką liczbę trzeba pomnożyć starą cenę, żeby dostać nową?

Pokaż całe rozwiązanie

$100\% + 8\% = 108\%$
$108\% = 1{,}08$ . Liczba $1{,}8$ to $180\%$ , czyli podwyżka o $80\%$ .

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Czy to prawda, że po obniżce ceny o 30% płacisz 70% starej ceny?

Pokaż całe rozwiązanie

$100\% - 30\% = 70\%$
Płacisz $70\%$ starej ceny. To prawda.

Zadanie 4

Średnie∞ wersje

Po obniżce o 20% buty kosztują 240 zł. Ile kosztowały przed obniżką?

Pokaż całe rozwiązanie

Stara cena to $x$ . Po obniżce zostało $80\%$ , więc $0{,}8x = 240$ .
$x = 240 : 0{,}8 = 300$ zł
Sprawdzenie: $20\%$ z 300 zł to 60 zł, a $300 - 60 = 240$ zł.

Zadanie 5

Średnie

Bilet do kina podrożał z 50 zł do 60 zł. O ile procent wzrosła cena?

Pokaż całe rozwiązanie

Cena wzrosła o $60 - 50 = 10$ zł.
$\frac{10}{50} = 0{,}2 = 20\%$
Wynik $16\frac{2}{3}\%$ wychodzi, gdy podzielisz 10 przez nową cenę 60.

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Cenę roweru obniżono o 20%, a potem nową cenę podniesiono o 20%. Jak zmieniła się cena w porównaniu z ceną początkową?

Pokaż całe rozwiązanie

Po obniżce cena to $0{,}8$ ceny początkowej.
Po podwyżce: $0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96$ ceny początkowej.
$0{,}96 = 96\%$ , więc cena spadła o $4\%$ . Na przykład 100 zł zmienia się w 80 zł, a potem w 96 zł.

Zadanie 7

Trudne∞ wersje

Pan Adam wpłacił 2000 zł na lokatę oprocentowaną 5% w skali roku. Po każdym roku odsetki są dopisywane do lokaty. Ile złotych będzie na lokacie po 2 latach? Pomiń podatek.

Pokaż całe rozwiązanie

Po pierwszym roku: $2000 \cdot 1{,}05 = 2100$ zł.
Po drugim roku: $2100 \cdot 1{,}05 = 2205$ zł.
Odsetki w drugim roku to 105 zł, a nie 100 zł, bo liczysz je od 2100 zł.

Zadanie 8

Trudne

Ola wpłaciła 1000 zł na roczną lokatę oprocentowaną 6% w skali roku. Od odsetek bank pobiera 19% podatku. Ile złotych odsetek Ola dostanie po potrąceniu podatku?

Pokaż całe rozwiązanie

Odsetki: $1000 \cdot 0{,}06 = 60$ zł.
Podatek: $60 \cdot 0{,}19 = 11{,}40$ zł.
Ola dostanie $60 - 11{,}40 = 48{,}60$ zł odsetek. To samo dostaniesz z $60 \cdot 0{,}81$ .

Najczęstsze pytania

Czy podwyżka o 10% i obniżka o 10% się znoszą?

Nie. Obniżkę liczysz od wyższej ceny, więc odejmujesz więcej, niż wcześniej doszło. Z 100 zł robi się $100 \cdot 1{,}1 = 110$ zł, a potem $110 \cdot 0{,}9 = 99$ zł.

Jak obliczyć cenę przed obniżką?

Nową cenę podziel przez mnożnik. Jeśli po obniżce o $20\%$ coś kosztuje 240 zł, to stara cena wynosi $240 : 0{,}8 = 300$ zł.

← Wszystko z działu „Procenty w praktyce” i lista na sprawdzian