Przejdź do treści
pomoc z matmy

Klasa 8 · Statystyka

Średnia arytmetyczna w zadaniach

8 zadań do rozwiązania ↓

Gdy masz wiele liczb, na przykład oceny, temperatury albo wyniki w zawodach, możesz opisać je jedną liczbą. Najczęściej jest to średnia arytmetyczna: suma wszystkich danych podzielona przez to, ile ich jest.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna liczb a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n:

a1+a2+…+ann\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}

Gdy znasz średnią i liczbę danych, obliczysz ich sumę: suma = średnia · liczba danych.

Przykład 1: oceny

Oceny Kuby: 4, 5, 3, 5, 6.

Suma: 4+5+3+5+6=234 + 5 + 3 + 5 + 6 = 23. Ocen jest 5, więc średnia to 235=\frac{23}{5} = 4,6.

Przykład 2: dane w tabeli

W tabeli zapisano oceny z kartkówki w klasie 8b.

Ocena 3 4 5 6
Liczba uczniów 2 4 3 1

Kartkówkę pisało 2+4+3+1=102 + 4 + 3 + 1 = 10 uczniów. Suma ocen: 3⋅2+4⋅4+5⋅3+6⋅1=6+16+15+6=433 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1 = 6 + 16 + 15 + 6 = 43.

Średnia: 43:10=43 : 10 = 4,3.

Przykład 3: brakująca liczba

Średnia trzech liczb wynosi 6. Dwie z nich to 4 i 9. Jaka jest trzecia?

Suma trzech liczb: 6⋅3=186 \cdot 3 = 18. Dwie znane liczby dają 4+9=134 + 9 = 13, więc trzecia to 18−13=18 - 13 = 5.

Częsty błąd

Dziel przez liczbę wszystkich danych, także zer. W tabeli dziel przez liczbę uczniów, a nie przez liczbę kolumn.

Jedna bardzo duża albo bardzo mała liczba mocno zmienia średnią. Średnia liczb 1, 2, 3 i 4 to 2,5, ale po dopisaniu liczby 100 wynosi już 1105=22\frac{110}{5} = 22.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Oblicz średnią arytmetyczną liczb 3, 7, 8 i 10.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma: 3+7+8+10=283 + 7 + 8 + 10 = 28.
  2. Liczb jest 4, więc średnia to 28:4=728 : 4 = 7.

Zadanie 2

Łatwe

Pięcioro uczniów zapisało, ile książek każde z nich przeczytało w wakacje: Ania 2, Bartek 5, Celina 3, Darek 0, Ela 5. Oblicz średnią liczbę przeczytanych książek na ucznia.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma: 2+5+3+0+5=152 + 5 + 3 + 0 + 5 = 15 książek.
  2. Uczniów jest 5, razem z Darkiem, który nie przeczytał żadnej książki.
  3. Średnia: 15:5=315 : 5 = 3 książki na ucznia.

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Kasia przez 4 dni zapisywała, ile wydała w szkolnym sklepiku: 3,50 zł, 5 zł, 2,40 zł i 4,10 zł. Ile średnio wydawała dziennie?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma: 3,50+5+2,40+4,10=153{,}50 + 5 + 2{,}40 + 4{,}10 = 15 zł.
  2. Zakupy trwały 4 dni, więc średnio Kasia wydawała 15:4=3,7515 : 4 = 3{,}75 zł dziennie.

Zadanie 4

Średnie

Średnia arytmetyczna liczb 2, 3, 4, 5 i 6 wynosi 4. Czy to prawda, że gdy zamienisz liczbę 6 na 56, średnia wzrośnie o 10?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma po zamianie: 2+3+4+5+56=702 + 3 + 4 + 5 + 56 = 70.
  2. Nowa średnia: 70:5=1470 : 5 = 14.
  3. Średnia wzrosła z 4 do 14, czyli o 10. To prawda. Liczba 6 urosła o 50, a ta zmiana rozkłada się na wszystkie 5 liczb: 50:5=1050 : 5 = 10.

Zadanie 5

Średnie

Ola ma z matematyki oceny 4, 5, 3 i 4. Jaką ocenę musi dostać jako piątą, żeby średnia jej pięciu ocen wynosiła 4,2?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma pięciu ocen: 4,2⋅5=214{,}2 \cdot 5 = 21.
  2. Suma ocen, które Ola już ma: 4+5+3+4=164 + 5 + 3 + 4 = 16.
  3. Brakująca ocena: 21−16=521 - 16 = 5.

Trudne

Zadanie 6

Trudne

W ciągu tygodnia o 7 rano termometr pokazywał kolejno: −2∘-2^\circC, 3∘3^\circC, 1∘1^\circC, −4∘-4^\circC, 0∘0^\circC, 5∘5^\circC i 4∘4^\circC. Oblicz średnią temperaturę z tego tygodnia.

°C
Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma liczb dodatnich: 3+1+5+4=133 + 1 + 5 + 4 = 13. Suma ujemnych: −2+(−4)=−6-2 + (-4) = -6.
  2. Suma wszystkich: 13+(−6)+0=713 + (-6) + 0 = 7.
  3. Średnia: 7:7=17 : 7 = 1 °C.

Zadanie 7

Trudne

Średnia wieku pięciu zawodników drużyny wynosi 14 lat. Do drużyny dołączył trener, który ma 38 lat. Jaka jest teraz średnia wieku wszystkich sześciu osób?

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Suma wieku zawodników: 5⋅14=705 \cdot 14 = 70 lat.
  2. Z trenerem: 70+38=10870 + 38 = 108 lat.
  3. Nowa średnia: 108:6=18108 : 6 = 18 lat. Wynik 26 to średnia z liczb 14 i 38, która pomija, że zawodników jest pięciu, a 21,621{,}6 wychodzi po dzieleniu przez 5 zamiast przez 6.

Zadanie 8

Trudne

W klasie jest 20 uczniów. Czworo nie ma rodzeństwa, dziewięcioro ma jednego brata lub siostrę, pięcioro ma dwoje rodzeństwa, a dwoje ma troje rodzeństwa. Oblicz średnią liczbę rodzeństwa na ucznia.

Pokaż całe rozwiązanie
  1. Łączna liczba rodzeństwa: 0⋅4+1⋅9+2⋅5+3⋅2=0+9+10+6=250 \cdot 4 + 1 \cdot 9 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 0 + 9 + 10 + 6 = 25.
  2. Średnia: 25:20=1,2525 : 20 = 1{,}25.
  3. Nie dziel przez 4 (liczbę grup), tylko przez 20 (liczbę uczniów).

Najczęstsze pytania

Czy średnia musi być jedną z liczb w zestawie?

Nie. Średnia liczb 3 i 4 to 3,5, a takiej liczby w zestawie nie ma. Średnia liczby dzieci w rodzinie może wynosić na przykład 1,25, choć żadna rodzina nie ma 1,25 dziecka.

Jak obliczyć średnią, gdy są liczby ujemne?

Tak samo jak zwykle: dodaj wszystkie liczby, pamiętając o znakach, i podziel sumę przez to, ile ich jest. Na przykład średnia liczb −3-3, 11 i 55 to (−3+1+5):3=1(-3 + 1 + 5) : 3 = 1.

Dlaczego jedna duża liczba tak bardzo zmienia średnią?

Średnia to suma podzielona po równo między wszystkie liczby. Jedna bardzo duża liczba mocno podnosi sumę, więc podnosi też średnią. Średnia liczb 1, 2, 3 i 4 to 2,5, a po dopisaniu liczby 100 wynosi już 22.

← Wszystko z działu „Statystyka” i lista na sprawdzian