Klasa 8 · Symetrie

Oś symetrii i środek symetrii figury

Figura ma oś symetrii, gdy da się ją złożyć wzdłuż prostej tak, że obie połówki się pokryją. Ma środek symetrii, gdy po obrocie o $180^\circ$ wokół jakiegoś punktu wygląda dokładnie tak samo.

Symetrie w układzie współrzędnych

Obraz punktu $(x, y)$ :

Symetria względem	Obraz punktu
osi $x$	$(x, -y)$
osi $y$	$(-x, y)$
początku układu $(0, 0)$	$(-x, -y)$

Przykład 1: osie i środki symetrii figur

Figura	Liczba osi symetrii	Środek symetrii
kwadrat	4	tak
prostokąt (nie kwadrat)	2	tak
romb (nie kwadrat)	2	tak
równoległobok (nie prostokąt i nie romb)	0	tak
trapez równoramienny	1	nie
trójkąt równoboczny	3	nie
trójkąt równoramienny (nie równoboczny)	1	nie
koło	nieskończenie wiele	tak

Przykład 2: punkt symetryczny

Punkt $A = (2, -6)$ . Względem osi $x$ jego obraz to $(2, 6)$ , względem osi $y$ to $(-2, -6)$ , a względem początku układu $(-2, 6)$ .

Częsty błąd

Przy symetrii względem osi $x$ zmieniasz znak drugiej współrzędnej, a nie pierwszej. Punkt odbija się nad lub pod osią poziomą, więc zmienia się jego wysokość, czyli $y$ .

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Ile osi symetrii ma kwadrat?

Pokaż całe rozwiązanie

Dwie osie przechodzą przez środki przeciwległych boków.
Dwie kolejne osie to proste zawierające przekątne.
Razem kwadrat ma 4 osie symetrii.

Zadanie 2

Łatwe

Czy to prawda, że trójkąt równoboczny ma środek symetrii?

Pokaż całe rozwiązanie

Po obrocie o $180^\circ$ wierzchołek, który był u góry, trafia na dół, a na dole wcześniej był bok.
Trójkąt nie pokrywa się sam ze sobą, więc nie ma środka symetrii. Ma za to 3 osie symetrii. To fałsz.

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Która figura ma środek symetrii, ale nie ma żadnej osi symetrii?

Pokaż całe rozwiązanie

Trapez równoramienny i trójkąt równoramienny mają oś symetrii, ale nie mają środka symetrii.
Romb ma i środek symetrii, i dwie osie (proste zawierające przekątne).
Równoległobok, który nie jest prostokątem ani rombem, ma środek symetrii, ale żadna prosta nie dzieli go na dwie lustrzane części.

Zadanie 4

Średnie

Punkt $B$ jest symetryczny do punktu $A = (3, -5)$ względem osi $x$ . Jakie współrzędne ma punkt $B$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

Przy symetrii względem osi $x$ pierwsza współrzędna zostaje, a druga zmienia znak.
$B = (3, 5)$ . Punkt $(-3, -5)$ to obraz względem osi $y$ , a $(-3, 5)$ względem początku układu.

Zadanie 5

Średnie

Punkt $B$ jest symetryczny do punktu $A = (-4, 7)$ względem początku układu współrzędnych. Podaj drugą współrzędną punktu $B$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Obie współrzędne zmieniają znak: $B = (4, -7)$ .
Druga współrzędna to $-7$ .

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Ile osi symetrii ma sześciokąt foremny?

Pokaż całe rozwiązanie

Sześciokąt ma 6 wierzchołków, czyli 3 pary przeciwległych wierzchołków. To daje 3 osie.
Ma też 6 boków, czyli 3 pary przeciwległych boków. Proste przez ich środki to kolejne 3 osie.
Razem $3 + 3 = 6$ osi. Każdy wielokąt foremny ma tyle osi symetrii, ile ma boków.

Zadanie 7

Trudne

Czy to prawda, że prostokąt o bokach 3 cm i 5 cm ma 4 osie symetrii, tak jak kwadrat?

Pokaż całe rozwiązanie

Prostokąt ma 2 osie symetrii: proste przechodzące przez środki przeciwległych boków.
Przekątna prostokąta, który nie jest kwadratem, nie jest osią symetrii. Po złożeniu wzdłuż niej rogi nie trafiają na siebie. To fałsz.

Zadanie 8

Trudne

Ola rysuje w zeszycie układ współrzędnych, w którym jednostka ma 1 cm. Zaznacza punkt $A = (3, 4)$ i punkt $B$ symetryczny do $A$ względem początku układu. Jaka jest odległość między punktami $A$ i $B$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

Obie współrzędne zmieniają znak: $B = (-3, -4)$ .
Różnice współrzędnych: $3 - (-3) = 6$ i $4 - (-4) = 8$ .
$|AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ cm

Najczęstsze pytania

Czym różni się oś symetrii od środka symetrii?

Oś symetrii to prosta. Figura złożona wzdłuż niej pokrywa się sama ze sobą. Środek symetrii to punkt. Figura obrócona wokół niego o $180^\circ$ wygląda tak samo.

Czy koło ma oś symetrii?

Tak, i to nieskończenie wiele. Każda prosta przechodząca przez środek koła jest jego osią symetrii, a sam środek koła jest środkiem symetrii.

← Wszystko z działu „Symetrie” i lista na sprawdzian