Klasa 8 · Twierdzenie Pitagorasa w zadaniach

Przekątna kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego

Twierdzenie Pitagorasa najczęściej przydaje się w dwóch figurach: w kwadracie i w trójkącie równobocznym. W obu przypadkach wyznaczasz jeden odcinek z trójkąta prostokątnego, a wynik zawsze ma ten sam kształt. Warto więc zapamiętać gotowe wzory.

Kwadrat i trójkąt równoboczny o boku a

Przekątna kwadratu:

d = a\sqrt{2}

Wysokość i pole trójkąta równobocznego:

h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Przykład 1: przekątna kwadratu

Kwadrat ma bok 5 cm. Przekątna i dwa boki tworzą trójkąt prostokątny, więc $d^2 = 5^2 + 5^2 = 50$ .

$d = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} =$ $5\sqrt{2}$ cm.

Przykład 2: wysokość trójkąta równobocznego

Trójkąt równoboczny ma bok 6. Wysokość dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej 3.

$h^2 = 6^2 - 3^2 = 27$ , więc $h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} =$ $3\sqrt{3}$ .

Częsty błąd

W trójkącie równobocznym bok jest przeciwprostokątną, więc kwadraty odejmujesz: $h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$ . Nie dodawaj ich i nie bierz całego boku zamiast jego połowy.

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Kwadrat ma bok długości 4. Jaką długość ma jego przekątna?

Pokaż całe rozwiązanie

Przekątna i dwa boki tworzą trójkąt prostokątny: $d^2 = 4^2 + 4^2 = 32$ .
$d = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Zadanie 2

Łatwe

Trójkąt równoboczny ma bok długości 10. Jaką długość ma jego wysokość?

Pokaż całe rozwiązanie

Wysokość dzieli podstawę na połowy po 5. Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 = 10^2 - 5^2 = 75$ .
$h = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Przekątna kwadratu ma długość $6\sqrt{2}$ cm. Ile centymetrów ma bok tego kwadratu?

Pokaż całe rozwiązanie

$a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
Dzielisz obie strony przez $\sqrt{2}$ : $a = 6$ cm.

Zadanie 4

Średnie

Czy to prawda, że trójkąt równoboczny o boku 2 ma wysokość $\sqrt{3}$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
To prawda. Możesz to sprawdzić Pitagorasem: $h^2 = 2^2 - 1^2 = 3$ .

Zadanie 5

Średnie

Przekątna kwadratu ma długość 10 cm. Oblicz pole tego kwadratu.

Pokaż całe rozwiązanie

$a^2 + a^2 = 10^2$ , czyli $2a^2 = 100$ .
$a^2 = 50$
Pole kwadratu to $a^2 = 50$ cm². Nie musisz liczyć samego boku $a = 5\sqrt{2}$ cm.

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku 6.

Pokaż całe rozwiązanie

Wysokość: $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ .
$P = \frac{6 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$
Wynik $18\sqrt{3}$ wychodzi, gdy zapomnisz podzielić przez 2. To samo daje wzór $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4}$ .

Zadanie 7

Trudne

Wysokość trójkąta równobocznego ma długość $4\sqrt{3}$ cm. Oblicz obwód tego trójkąta.

Pokaż całe rozwiązanie

$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$
Mnożysz przez 2 i dzielisz przez $\sqrt{3}$ : $a = 8$ cm.
Obwód: $3 \cdot 8 = 24$ cm.

Zadanie 8

Trudne

Plac ma kształt kwadratu o boku 30 m. Kuba ma przejść z jednego rogu placu do rogu przeciwległego. Zamiast iść wzdłuż dwóch boków, idzie po przekątnej. O ile metrów krótsza jest jego droga? Przyjmij $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Droga wzdłuż dwóch boków: $30 + 30 = 60$ m.
Przekątna: $30\sqrt{2} \approx 30 \cdot 1{,}41 = 42{,}3$ m.
Różnica: $60 - 42{,}3 = 17{,}7$ m.

Najczęstsze pytania

Skąd wzór na przekątną kwadratu?

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne. Z twierdzenia Pitagorasa $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ , więc $d = a\sqrt{2}$ .

Czy na egzaminie trzeba znać wzór na wysokość trójkąta równobocznego?

Warto, bo przyspiesza liczenie. Jeśli go zapomnisz, wyprowadzisz go Pitagorasem z połowy trójkąta: $h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$ .

← Wszystko z działu „Twierdzenie Pitagorasa w zadaniach” i lista na sprawdzian