Klasa 8 · Układ współrzędnych

Środek odcinka i długość odcinka w układzie współrzędnych

Każdy punkt w układzie współrzędnych ma dwie współrzędne: $A = (x_A, y_A)$ . Mając końce odcinka, możesz wyliczyć jego środek i długość bez rysowania i mierzenia linijką.

Środek odcinka

Środek odcinka o końcach $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ :

S = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \ \frac{y_A + y_B}{2} \right)

Długość odcinka

|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

To twierdzenie Pitagorasa: różnice współrzędnych to przyprostokątne, a odcinek to przeciwprostokątna.

Przykład 1: środek odcinka

Wyznacz środek odcinka o końcach $A = (-2, 7)$ i $B = (4, 1)$ .

$x_S = \frac{-2 + 4}{2} = 1$ , $y_S = \frac{7 + 1}{2} = 4$ . Środek to $S = (1, 4)$ .

Przykład 2: długość odcinka

Oblicz długość odcinka o końcach $A = (2, -1)$ i $B = (14, 4)$ .

Różnice: $14 - 2 = 12$ i $4 - (-1) = 5$ . $|AB| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} =$ 13.

Częsty błąd

Uważaj na minusy: $4 - (-1) = 5$ , a nie 3. I nie dodawaj samych różnic: dla różnic 6 i 8 długość to $\sqrt{36 + 64} = 10$ , a nie $6 + 8 = 14$ .

Sprawdź się

Zadania

Wpisz odpowiedź i sprawdź. Ułamki zapisuj jako 3/4, a liczby dziesiętne z przecinkiem.

Łatwe

Zadanie 1

Łatwe

Dane są punkty $A = (2, 4)$ i $B = (6, 8)$ . Który punkt jest środkiem odcinka $AB$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$x_S = \frac{2 + 6}{2} = 4$
$y_S = \frac{4 + 8}{2} = 6$
Środek to $S = (4, 6)$ . Punkt $(8, 12)$ wychodzi, gdy zapomnisz podzielić przez 2.

Zadanie 2

Łatwe

Oblicz długość odcinka o końcach $A = (1, 2)$ i $B = (7, 2)$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Odcinek jest równoległy do osi $x$ , więc jego długość to różnica pierwszych współrzędnych.
$|AB| = 7 - 1 = 6$

Średnie

Zadanie 3

Średnie

Oblicz długość odcinka o końcach $A = (1, 1)$ i $B = (4, 5)$ .

Pokaż całe rozwiązanie

Różnica pierwszych współrzędnych: $4 - 1 = 3$ . Różnica drugich: $5 - 1 = 4$ .
$|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$
$|AB| = 5$

Zadanie 4

Średnie

Dane są punkty $A = (-3, 5)$ i $B = (7, -3)$ . Podaj pierwszą współrzędną (odciętą) środka odcinka $AB$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$x_S = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Dla porządku druga współrzędna: $y_S = \frac{5 + (-3)}{2} = 1$ , więc $S = (2, 1)$ .

Zadanie 5

Średnie

Czy to prawda, że punkt $(0, 0)$ jest środkiem odcinka o końcach $A = (-4, 3)$ i $B = (4, -3)$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

$x_S = \frac{-4 + 4}{2} = 0$
$y_S = \frac{3 + (-3)}{2} = 0$
Środek to $(0, 0)$ . To prawda.

Trudne

Zadanie 6

Trudne

Punkt $S = (5, 1)$ jest środkiem odcinka $AB$ , a $A = (2, 3)$ . Podaj drugą współrzędną punktu $B$ .

Pokaż całe rozwiązanie

$\frac{3 + y_B}{2} = 1$
$3 + y_B = 2$
$y_B = -1$
Tak samo $x_B = 2 \cdot 5 - 2 = 8$ , więc $B = (8, -1)$ .

Zadanie 7

Trudne

Jaką długość ma odcinek o końcach $A = (-2, 1)$ i $B = (2, 3)$ ?

Pokaż całe rozwiązanie

Różnica pierwszych współrzędnych: $2 - (-2) = 4$ . Różnica drugich: $3 - 1 = 2$ .
$|AB| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Zadanie 8

Trudne

Na planie osiedla w układzie współrzędnych jedna jednostka odpowiada 100 m. Dom Oli jest w punkcie $(1, 2)$ , a szkoła w punkcie $(7, 10)$ . Ile metrów dzieli dom od szkoły w linii prostej?

Pokaż całe rozwiązanie

Różnice współrzędnych: $7 - 1 = 6$ i $10 - 2 = 8$ .
Odległość na planie: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ jednostek.
W rzeczywistości: $10 \cdot 100 = 1000$ m.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć środek odcinka?

Dodaj pierwsze współrzędne końców i podziel przez 2, a potem zrób to samo z drugimi współrzędnymi. Dla $A = (2, 4)$ i $B = (6, 8)$ środek to $(4, 6)$ .

Skąd się bierze wzór na długość odcinka?

To twierdzenie Pitagorasa. Różnice współrzędnych są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, a odcinek jest jego przeciwprostokątną.

← Wszystko z działu „Układ współrzędnych” i lista na sprawdzian